1.1. La construction des nombres

Je suis jeune, il est vrai; mais aux âmes bien nées
La valeur n’attend point le nombre des années
— Pierre Corneille, Le Cid

Mil huit cent onze ! Ô temps où des peuples sans nombre
Attendaient prosternés sous un nuage sombre
Que le ciel eût dit oui !
— Victor Hugo

Dans l’introduction, je vous ai promis que nous construirions les maths brique par brique depuis le nombre (ou chiffre) 1, et c’est certainement ce qui vous a poussé à monter à bord de ce navire. Vous allons dans ce chapitre commencer la construction de cet empire qu’est la science mathématique. C’est le premier cours de maths où nous allons étudier les objets élémentaires nécessaires à cette construction. Alors, vous devez impérativement avoir votre sac à outils sur vous. Si vous ne l’avez pas encore préparé, je vous renvoie au cours sur la préparation des outils. Commençons donc !

Vous rappelez-vous de la première définition que nous avons donnée à la science mathématique ? Nous avons dit qu’elle est la science des quantités. Et nous avons dit qu’une quantité peut être vue comme tout ce qui peut augmenter ou diminuer. Je reviens sur le concept de quantité car il est fondamental. À ce concept est associé celui d’unité que nous allons voir maintenant.

Le concept d’unité

Ce n’est certainement pas la première fois que nous rencontrons le terme “unité” dans notre étude. J’en ai maintes fois parlé comme équivalent (ou synonyme) du nombre 1. Cela peut prêter un peu à confusion car, dans les autres sciences, ce concept d’unité semble faire référence à autre chose. Voyons ce qu’il en est.

Il est fort probable que vous ayez déjà utilisé le concept d’unité dans vos affaires quotidiennes. Par exemple, quand vous dites que vous pesez 75 kilogrammes, vous voulez dire que vous pesez 75 fois l’unité kilogramme. Alors, moi qui pèse 59 kilogrammes, je fais 59 fois l’unité kilogramme. On a vu que tout objet matériel est un agrégat (ou ensemble) d’éléments. Le plus petit élément est considéré comme l’unité et c’est l’association de ces petits éléments qui donne l’objet. Mais, un objet matériel peut être caractérisé (ou mesuré) de plusieurs manières, soit par l’espace qu’il occupe, soit par sa masse (ou pesanteur), soit par sa couleur, etc. On associe une unité à chaque manière de mesurer un objet. Les unités de mesure que nous utilisons couramment sont les suivantes :

  • le gramme pour mesurer la pesanteur,
  • le litre pour mesurer le volume,
  • le mètre pour mesurer la longueur,
  • le mètre-carré pour mesurer l’aire ou la surface,
  • l’heure pour mesurer le temps,
  • le franc pour mesurer l’argent

Il existe un nombre incroyable d’unités de mesure et nous pouvons en créer autant que nous voulons. Il est donc inutile d’essayer de tous les énumérer. Retenons juste que l’unité sert à quantifier le nombre de parties d’un objet, généralement en vue de le comparer à d’autres objets.

L’unité sert à quantifier le nombre de parties d’un objet.

Il ne faut toutefois pas croire que ce concept d’unité est absolu, c’est-à-dire que ce qu’on appelle le mètre est une unité indivisible. On peut en effet diviser le mètre indéfiniment. Mais, on s’est mis d’accord, dans notre système, pour l’utiliser comme unité. Dans le système anglo-saxon, l’unité de mesure de la longueur est le pied (ou foot, en anglais), qui est différent du mètre. Ce qui montre bien que le concept d’unité n’est pas absolu, il est relatif. En ce qui nous concerne, restons dans le relatif car l’absolu nous est insaisissable et inintelligible. 🙂

D’un point de vue relatif, une unité est indivisible. Elle est donc opposée à plusieurs. Mais, c’est l’association une à une d’un certain nombre d’unités qui forme le plusieurs. L’unité est donc l’élément premier de tout ensemble (ou collection). Tout ensemble se construit à partir de l’unité. Dans la construction d’une maison, la brique est l’objet élémentaire, c’est l’unité. C’est l’association de plusieurs briques qui forme la maison. La maison ne peut apparaître complète en un coup sans que les maçons n’aient posé les briques une par une, à moins évidemment que ce soit de la magie.  😆

Le concept de nombre

Nous en avons déjà parlé dans notre cours de maths sur l’Algorithmie, mais revenons sur ce concept pour le définir à la lumière de notre compréhension du concept d’unité.

Qu’est-ce qu’un nombre ?

Un nombre est l’association de plusieurs unités. Nous allons retenir cette définition car elle est simple et précise. Et si vous vous rappelez que j’ai dit dans l’introduction que tous les nombres sont construits à partir de l’unité, cette définition devient plus clair et difficilement oubliable. Alors, si un nombre est un agrégat d’unités et qu’un objet est également un agrégat d’unités, on peut conclure par analogie qu’un objet est comme un nombre et qu’un nombre est comme un objet.

Nombre abstrait et nombre concret

Les nombres tels que nous allons les manipuler en arithmétique sont appelés nombres abstraits. Nous les considérons juste pour ce qu’ils sont et pour ce dont ils sont capables. Ils sont capables de s’additionner ou de se multiplier entre eux, sans se soucier si cela a vraiment du sens. De l’autre côté, nous avons les nombres concrets, ceux que nous employons dans le langage naturel. Ils ont un sens car nous les rattachons à des objets concrets. Par exemple, quand nous disons que nous avons deux (2) frères, nous rattachons le nombre deux (2) à l’objet concret “frères”. C’est intéressant de voir les nombres sous leur apparence concrète mais cela a toutefois une limitation. Ces nombres sont limités à des opérations concrètes c’est-à-dire qui ont un sens concret. Par exemple, il est insensé de dire que j’ai deux fois deux (ou 2 multiplié par 2) poules pour exprimer que j’ai quatre (4) poules car c’est contraire à la manière naturelle de générer (construire) les nombres concrets. Il est plus sensé de dire que j’ai un plus un plus un plus un poules, soit quatre poules.

Les nombres abstraits sont plus puissants que les nombres concrets.

Pour étudier l’arithmétique, il faut donc nous défaire de cette limitation. On va considérer les nombres d’un point de vue abstrait. Ce qui nous permettra de voir les faits de chaque nombre. Ne croyez surtout pas que cela veut dire que ce que nous allons voir n’a aucune utilité. Rien n’est plus loin de la vérité. Voir les nombres sous leur aspect abstrait nous rend plus puissant car vous convenez avec moi qu’il est plus rapide de faire 2 fois 2 pour trouver 4 que de faire un plus un plus un plus un. 🙂

Toute l’arithmétique se résume à deux grandes opérations : la construction ou génération des nombres et la comparaison des nombres. Commençons par la première opération.

La construction des nombres

Dans cette partie, nous allons construire les nombres à partir de l’unité. Ce processus n’a rien d’artificiel, il est naturel. Toute l’activité de l’homme se résume à ça. Dans la vie active, nous commençons avec une chose et lorsque cette chose est bonne, nous en voulons encore plus. Pour cela, nous cherchons des méthodes pour en avoir plus. Que faisons-nous comme ça ? Nous construisons plus de choses à partir de l’unique chose que nous avions au départ. La finance, par exemple, se résume à trois opérations: comment avoir de l’argent, comment le conserver et comment en générer plus.

Si nous faisons l’analogie avec les nombres, nous disons que nous partons de l’unité (le nombre 1) et nous générons les autres nombres à partir de l’unité. Les mathématiciens ont de tout temps consacré tous leurs efforts à trouver des moyens de plus en plus rapides pour générer les nombres ou les quantités. Nous allons donc marcher sur leurs pas en commençant par les modes de génération les plus simples pour progressivement voir les plus complexes mais également plus performants. Il serait fatal de procéder en sens contraire, car on ne comprendrait pas du tout comment les maths sont construites et nous nous retrouverions perdus dans un labyrinthe duquel nous ne demanderions qu’à sortir définitivement. C’est comme ça que certains sont arrivés à haïr les maths. Ne commettons donc pas la même erreur. Commençons d’abord par le commencement et après, nous chercherons plus ! 😉

Comment représente-t-on les nombres ?

Les nombres sont primitivement des entités abstraites, qui n’existent que dans notre entendement. Nous en sommes conscients sans même les voir physiquement. Mais, afin que tous les hommes aient la même conception des nombres et pour que nous puissions aisément les percevoir et les manipuler, il fallait donc trouver un moyen pour les représenter par des signes ou des caractères particuliers. Ce procédé n’est pas spécifique aux nombres. On le rencontre dans toutes les activités humaines. Le sculpteur s’empresse de représenter concrètement, par des objets matériels, l’image abstraite qui se trouve dans son imagination. Shakespeare fait de même en donnant vie à Hamlet sur scène.

Le mode de représentation des nombres est appelé la numération. Grâce à la numération, nous avons maintenant une manière universelle de représenter les nombres. Il existait auparavant diverses manières de représenter les nombres, chacune avec ses avantages et ses inconvénients. Ce que nous devons retenir, c’est que la numération est juste un moyen pour nous d’exprimer les nombres. Les nombres eux-mêmes sont indépendants de la numération, ils sont abstraits. Il se peut même qu’une nouvelle civilisation, après la nôtre, décide de représenter les nombres d’une autre manière. Il ne faut donc pas s’attacher à la numération pour éviter certaines incompréhensions lorsque nous aborderons l’algèbre.

Voici la liste des nombres les plus simples et leur représentation dans notre numération actuelle :

Les nombres simples, leur écriture en chiffres et en lettres, et leur signification

À la première ligne de chaque tableau, nous avons la représentation du nombre en chiffres, à la deuxième colonne, son écriture en lettres et à la dernière ligne sa signification. La signification est importante car elle est indépendante de la numération.

On peut exprimer tous les autres nombres à partir de ces nombres simples appelés chiffres. Il suffit juste de disposer un chiffre à côté d’un autre pour avoir un nouveau nombre. Par exemple, si nous mettons le chiffre 3 à gauche du chiffre 2, nous obtenons le nombre 32. Si nous nous le mettons plutôt à droite, nous obtenons 23. De cette façon, on peut générer aléatoirement autant de nombres que nous voulons. Mais évidemment, nous sommes plus intéressés par des procédés de génération que nous pourrons répéter plusieurs fois plutôt que par des procédés aléatoires qui ne sont pas reproductibles.

Dans l’exemple précédent, vous avez dû remarquer que le nombre qu’on obtient dépend de la position des chiffres qui le constituent. 32 et 23 sont deux nombres différents car 2 et 3 sont disposés différemment dans chacun de ces nombres. Le rôle que joue chaque chiffre dépend donc de sa position dans le nombre, c’est la numération de position.

Système de numération décimale

Notre système de numération est décimale, ou à base dix, c’est-à-dire que tous les nombres sont représentés à partir de dix chiffres. Ce sont les chiffres que nous avons vus dans la section précédente. Le système binaire est à base deux (les chiffres sont 0 et 1), le système octal est à base huit (les chiffres sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), etc. Nous savons déjà qu’un nombre exprime plusieurs unités, 2 exprime deux unités, 5 exprime cinq unités, 9 exprime neuf unités. Lorsque nous considérons les chiffres de 0 à 9, on dit que nous comptons par unités. Dans le système décimal, après 9, nous ne pouvons plus représenter de nombre à un chiffre, nous devons passer aux nombres à deux chiffres. On le fait en plaçant un chiffre à côté d’un autre. Mais, comme nous l’avons déjà dit, l’importance de chaque chiffre dépend de sa position. Alors, si on considère le chiffre 1 seul, il exprime l’unité, mais si nous le plaçons à gauche du chiffre 2, pour former 12, 1 acquiert une plus grande importance. On dit qu’il devient dix fois plus grand et exprime dix unités ou une dizaine. Tout comme nous comptons en unités, nous pouvons compter en dizaines et ces dizaines ont aussi des noms particuliers :

  • une dizaine se nomme dix et s’écrit 10,
  • deux dizaines se nomment vingt et s’écrivent 20,
  • trois dizaines se nomment trente et s’écrivent 30,
  • quatre dizaines se nomment quarante et s’écrivent 40,
  • cinq dizaines se nomment cinquante et s’écrivent 50,
  • six dizaines se nomment soixante et s’écrivent 60,
  • sept dizaines se nomment soixante-dix et s’écrivent 70,
  • huit dizaines se nomment quatre-vingt et s’écrivent 80,
  • neuf dizaines se nomment quatre-vingt-dix et s’écrivent 90.

Notez que nos amis belges (habitants de la Belgique) préfèrent les noms suivants :

  • septante (au lieu de soixante-dix) pour 70,
  • octante (au lieu de quatre-vingt) pour 80,
  • nonante (au lieu de quatre-vingt-dix) pour 90.

Ils trouvent ces noms plus courts et ils ont certainement raison. Mais, adoptez le nom usuel employé dans vos localités respectives.

Arrivé à neuf dizaines, vous vous doutez bien que nous ne pouvons pas représenter dix dizaines par deux chiffres, il nous faut un chiffre de plus. On déplace donc le chiffre 1 d’une position vers la gauche en ajoutant un zéro à droite. Ce qui nous donne dix dizaines, ou une centaine, représentée par 100. 100 lui-même est un nombre et se nomme cent.

Dans le système de numération décimale, on peut représenter tous les nombres à partir des chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Arrêtons-nous là un instant et considérons certains nombres. Prenons par exemple le nombre 32, nous voyons qu’il est composé de deux chiffres dont trois dizaines et deux unités. Si nous voulons le prononcer, on le fait naturellement de gauche à droite en précédant le nom des unités de celui des dizaines, soit trente-deux. De même, 65 se prononce soixante-cinq, 84 se prononce quatre-vingt-quatre… Je vous imagine en train de déduire la prononciation de tous les nombres de deux chiffres. Il y a toutefois quelques subtilités. Les voici :

  • 11 se lit onze au lieu de dix-un,
  • 12 se lit douze au lieu de dix-deux,
  • 13 se lit treize au lieu de dix-trois,
  • 14 se lit quatorze au lieu de dix-quatre,
  • 15 se lit quinze au lieu de dix-cinq,
  • 16 se lit seize au lieu de dix-six,
  • Tous les nombres dont le chiffre des unités est 1 se prononcent en remplaçant le trait d’union (-) par “et”. Par exemple, 21 se lit vingt et un, au lieu de vingt-un, 31 se lit trente et un au lieu de trente-un, etc.
  • 71 se lit soixante et onze au lieu de soixante-dix-un ou soixante-dix et un,
  • 72 se lit soixante-douze au lieu de soixante-dix-deux,
  • 73 se lit soixante-treize au lieu de soixante-dix-trois,
  • 74 se lit soixante-quatorze au lieu de soixante-dix-quatre,
  • 75 se lit soixante-quinze au lieu de soixante-dix-cinq,
  • 76 se lit soixante -seize au lieu de soixante-dix-six,
  • 91 se lit quatre-vingt et onze au lieu de quatre-vingt-dix-un ou quatre-vingt-dix et un,
  • 92 se lit quatre-vingt-douze au lieu de quatre-vingt-dix-deux,
  • 93 se lit quatre-vingt-treize au lieu de quatre-vingt-dix-trois,
  • 94 se lit quatre-vingt-quatorze au lieu de quatre-vingt-dix-quatre,
  • 95 se lit quatre-vingt-quinze au lieu de quatre-vingt-dix-cinq,
  • 96 se lit quatre-vingt-seize au lieu de quatre-vingt-dix-six.

Revenons maintenant aux centaines. On peut également compter en centaines :

  • une centaine se nomme cent et s’écrit 100,
  • à partir deux centaines, le nombre se prononce en suivant le chiffre des centaines par “cents“. Par exemple, deux centaines se nomment deux cents et s’écrivent 200, ainsi de suite jusqu’à neuf centaines qui se nomment neuf cents et s’écrivent 900.

Essayons donc de prononcer le nombre 423. Toujours de la gauche à droite, on prononce les centaines ensuite les dizaines et enfin les unités. Ce serait donc quatre cents vingt-trois. De même, 718 serait sept cents dix-huit. On peut également aller en sens inverse, c’est-à-dire trouver l’écriture en chiffres à partir de l’écriture en lettres. Ainsi, le nombre correspondant à cent trente-trois est 133.

Continuons notre progression en octave supérieure de dix. À partir de neuf centaines, nous obtenons une octave supérieure, un nombre de quatre chiffres. Dix centaines correspondent à un millier et s’écrivent 1000. On peut donc compter en milliers : mille (1000), deux mille (2000), trois mille (3000), et ainsi de suite jusqu’à neuf mille (9000). À partir de mille, on compte avec les milliers comme on le fait avec les unités, c’est-à-dire par dizaines de mille, par centaines de mille. Mais un millier de mille ou dix centaines de mille se nomment un million (1 000 000). On compte par millions comme on le fait par mille, on a donc dix millions (10 000 000), cent millions (100 000 000). Un millier de millions ou dix centaines de millions se nomment un billion ou un milliard (1 000 000 000). Cette progression peut continuer indéfiniment mais arrêtons-nous là.

N.B.: J’ai ajouté des espaces entre les chiffres juste par souci de lisibilité. Nous reviendrons dans un autre chapitre sur la nécessité de le faire et comment le faire.

Comment nommerions-nous le nombre 3 582 678 ? On voit qu’il contient sept chiffres. Toujours de gauche à droite, on décortique le nombre comme suit:

  • le chiffre 3 correspond donc au chiffre des unités de millions, donc trois millions,
  • le chiffre 5 au chiffre des centaines de milles, le chiffre 8 à celui des dizaines de mille, le chiffre 2 à celui des unités de mille, donc cinq cents quatre-vingt-deux mille,
  • le chiffre 6 au chiffre des centaines d’unités, le chiffre 7 à celui des dizaines d’unités et le chiffre 8 à celui des unités, donc six cents soixante-dix-huit.

Ce qui nous donne, en fin de compte, trois millions cinq cents quatre-vingt-deux mille six cents soixante-dix-huit. De même, le nombre 125 231 549 015 se lira cent vingt-cinq milliards deux cents trente et un millions cinq quarante neuf mille quinze. Facile n’est-ce pas ? 😀

On génère de nouveaux nombres en associant deux nombres, d’une certaine manière, pour en former un troisième.

Vous voyez bien que nous pouvons représenter tous les nombres aussi grands soient-ils, et ce, avec les dix nombres du système décimal. Mais, comme je l’ai dit précédemment, ce qui nous intéresse, c’est de générer les nombres en utilisant des procédés formels que l’on peut répéter à volonté. Il s’agit tout simplement de tout procédé par lequel on associe deux nombres pour en former un troisième. En arithmétique, on appelle ces procédés : des opérations. Nous verrons les opérations basiques d’arithmétique au prochain chapitre.

D’ici-là, prenez le temps de digérer ce chapitre qui a été très long. Si vous avez mal à la tête, reposez-vous et revenez plus tard pour continuer ! 😉

PDF du cours

La construction des nombres.pdf
La construction des nombres
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