1.10. L’élévation à la puissance et l’extraction de racines

La science est la puissance de l’homme, et l’amour sa force — Henri-Frédéric Amiel.

La puissance des individus est la mesure de la puissance des peuples — Pierre-Claude-Victor Boiste.

Des puissances d’un nombre

Dans ce chapitre, nous allons voir le troisième mode de génération des nombres et son inverse. En effet, nous l’avons maintes fois rencontré lors de notre étude de la multiplication. Les plus attentifs d’entre vous ont dû remarquer que tout comme il est long d’écrire \(5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5\), ce qui a donné naissance à l’opération de multiplication de sorte qu’on puisse écrire \(5 \times 7\), il est également long d’écrire \(5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5\). Cette opération revient si souvent dans la manipulation des nombres qu’on se devait de lui attribuer un nom et d’étudier sa nature et comment elle interagit avec les autres opérations.

Dans le chapitre précédent, quand je parlais d‘octaves de 10, c’est-à-dire 100, 1000, 10000, etc., il s’agissait encore de cette opération sous une forme voilée. En effet, \(100 = 10 \times 10\), \(1000 = 10 \times 10 \times 10\), \(10000 = 10 \times 10 \times 10 \times 10\), etc. En Arithmétique, on a décidé d’appeler cette opération : élévation à la puissance. La puissance d’un nombre est le produit de ce nombre par lui-même. On dit donc communément puissances de 10 ou puissances de 5, et ça a exactement le même sens qu’on donnait à octaves de 10 (ou octaves de 5).

Comme vous pouvez le voir, l’élévation à la puissance permet, à partir d’un nombre quelconque, de générer toutes ses octaves. 100 est la deuxième puissance (ou octave) de 10 et on la note \(10^2\), 1000 sa troisième octave et la note \(10^3\), 10000 sa quatrième octave et on la note \(10^4\), et ainsi de suite.

\(\underbrace{10 \times 10 \times 10 \times 10}_\text{puissance 4} = 10^4\)

\(10^4\) s’énonce dix puissance 4 ou dix élevé à la puissance 4. Dans cette notation, le nombre qui est multiplié par lui-même, 10 dans notre exemple, s’appelle base et le nombre qui indique combien de fois la base est multipliée par elle-même, 4 dans notre exemple, s’appelle exposant et le produit obtenu s’appelle puissance.

Le calcul de la puissance n’est rien d’autre qu’une multiplication successive. Ainsi, pour calculer \(5 \times 5 \times 5 \times 5\times 5 \times 5\), on multiplie d’abord 5 par 5, on obtient 25. Ensuite, on multiplie 25 par 5, on obtient 125. On multiplie 125 par 5, on obtient 725. Et ainsi de suite six fois et on obtient 15625. Jusqu’ici, il n’y a rien de nouveau, vous savez très bien réaliser des opérations de multiplication. Si ce n’est pas le cas, je vous renvoie au deuxième cours sur les opérations élémentaires.
Cette méthode de calcul de la puissance est toutefois assez lente. On peut l’améliorer en divisant pour mieux régner. Vous souvenez-vous de cette technique ? Bien ! continuons. Si l’exposant est plus grand ou égal à 3, on peut considérer la puissance, à déterminer, comme étant le produit de deux termes. Chaque terme étant lui-même un produit (une puissance), on calcule chaque terme et on multiplie les deux produits obtenus et nous obtenons la puissance globale recherchée. Par exemple, si on veut déterminer \(5^7\), c’est-à-dire \(5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5\), on peut d’abord calculer \(5 \times 5 \times 5 \times 5\), donc \(5^4 = 625\), et \(5 \times 5 \times 5\), donc \(5^3 = 125\). Et multiplier 625 par 125, ce qui donne 78125 qui est le produit recherché.
On peut encore plus diviser pour mieux régner en calculant les puissances deux à deux, et en multipliant toutes ces puissances entre elles. Dans l’exemple précédent, on aurait \(5 \times 5 = 5^2 = 25\), ensuite \(5 \times 5 = 5^2 = 25\), ensuite \(5 \times 5 = 5^2 = 25\), et il restera 5 sans autre facteur. Pour trouver la puissance globale, on multiplie 25 par 25 par 25 par 5 : \(25 \times 25 \times 25 \times 5\). Ce qui donne évidemment 78125.

Nous pouvons poussé notre analyse encore plus loin en nous rappelant que tout nombre est soit pair soit impair. Si nous recherchons une puissance impaire, ça revient à trouver une puissance paire et à la multiplier par la base, car un nombre impair est égal à un nombre pair plus un. Par exemple \(7 = 6 + 1\), donc si on a à déterminer \(3^7\), on peut faire \(3^6 \times 3\). Ensuite, puisque tout nombre pair est multiple de 2, c’est-à-dire qu’il est égal à 2 multiplié par un certain nombre, alors déterminer une puissance paire se réduit à trouver la puissance de ce certain nombre et de la multiplier par elle-même. Par exemple, l’exposant de \(3^6\), c’est-à-dire 6, est pair et que \(6 = 3 \times 2\), on peut calculer \(3^3\) et le multiplier par lui-même, ce qui fait :

$$\mathbf{3 \times 3 \times 3} \times \mathbf{3 \times 3 \times 3} = 3^3 \times 3^3 = (3^3)^2$$

Dans la notation \((3^3)^2\), les parenthèses “()” sont mises juste pour séparer les exposants 3 et 2. Nous reviendrons dans un autre cours sur l’utilisation des parenthèses pour rendre les expressions mathématiques mieux lisibles et explicites. D’ici-là, ne vous sentez pas offenser par cette notation. 😆

On obtient donc :

$$3^7 = 3^6 \times 3 = (3^3)^2 \times 3 = 3 \times (3^3)^2$$

Nous pouvons encore appliquer le diviser pour mieux régner pour réduire \((3^3)^2\) à une puissance plus simple. Comme nous l’avons vu en haut, \(3^3\) peut s’écrire \(3^2 \times 3\) car son exposant, 3, est impair (\(3 = 2 + 1\)). On obtient donc :

$$3^7 = 3 \times (3^2 \times 3)^2$$

À ce stade, nous pouvons nous arrêter et calculer \(3^7\) car les puissances de 2 sont plus faciles à trouver que les puissances plus grandes. On sait que \(3^2 = 9\), on a donc :

$$3^7 = 3^6 \times 3 = 3 \times (3^2 \times 3)^2 = 3 \times (9 \times 3)^2 = 3 \times (27)^2 = 3 \times 27^2$$

Nous calculons maintenant \(27^2 = 27 \times 27 = 729\). En fin de compte, on a pu décomposer le calcul de \(3^7\) comme suit :

$$3^7 = 3^6 \times 3 = 3^6 \times 3 = 3 \times (3^2 \times 3)^2 = 3 \times (9 \times 3)^2 \times = 3 \times 27^2 = 3 \times 729 = 2187$$

Si le calcul que nous venons de faire vous semble difficile, relisez-le et essayez de le refaire seul, sans regarder. vous verrez que ça n’a rien de différent de tout ce que nous avons déjà vu en multiplication. C’est juste que le calcul est plus long lorsque la puissance recherchée est grande. Certaines puissances portent un nom. C’est le cas de la puissance 2 qui s’appelle carré et la troisième puissance qui s’appelle cube. Par exemple 84 est le carré de 8 et 27 est le cube de 3. Comme vous avez pu le constater, les puissances d’un nombre grandissent très rapidement. Certains mathématiciens les appellent nombres géométriques. En effet, le carré et le cube sont des formes géométriques.

On peut en déduire un algorithme général permettant de calculer les puissances de tout nombre.

Détermination des puissances d’un nombre : Algorithme

  1. Si l’exposant est un nombre pair, la puissance recherchée se réduit au produit de deux puissances (ou au carré d’une puissance de cet exposant) de même exposant. L’exposant est la moitié de l’exposant initial.
  2. Sinon si l’exposant est un nombre impair, on le décompose en produit de la base par une puissance dont l’exposant est plus petit que l’exposant initial d’une unité.
  3. On continue la simplification du problème en considérant la puissance partielle obtenue en 1) ou 2). Et on retourne au point 1).
  4. On continue la simplification jusqu’à obtenir le carré de la base comme puissance partielle. À ce stade, on calcule toutes les puissances de 2 et les produits avec la base, jusqu’à obtenir la puissance recherchée.

Prenons quelques exemples pour mieux fixer cette méthode.

Soit à déterminer la huitième puissance de 4, c’est-à-dire \(4^8\). L’exposant 8 étant un nombre pair, \(4^8\) peut s’écrire sous la forme d’un produit de deux puissances de 4 de même exposant. Cet exposant n’est rien d’autre que la moitié de 8, c’est-à-dire 4 (\(8 \div 2 = 4\). On a donc :

$$4^8 = 4^4 \times 4^4$$

Puisque la puissance \(4^4\) est multipliée par elle-même, on peut simplement l’élever au carré. Ce qui donnera :

$$4^8 = 4^4 \times 4^4 = (4^4)^2$$

Nous allons maintenant simplifier \(4^4\). L’exposant 4 étant un nombre pair, \(4^4\) peut s’écrire \(4^2 \times 4^2\) ou tout simplement \((4^2)^2\). On a donc maintenant :

$$4^8 = 4^4 \times 4^4 = (4^4)^2 = (~(4^2)^2~)^2$$

Encore une fois, les parenthèses ne servent qu’à rendre l’expression plus lisible. Et pour la rendre encore plus lisible, j’ai volontairement ajouté un espace après la première parenthèse ouvrante et la seconde parenthèse fermante.

Après avoir obtenu l’expression précédente, nous pouvons nous arrêter là et calculer les puissances partielles en commençant par \(4^2\). Et on sait que ça fait \(4 \times 4 = 16\), donc on a :

$$4^8 = 4^4 \times 4^4 = (4^4)^2 = (~(\mathbf{4^2})^2~)^2 = (~(\mathbf{16})^2~)^2$$

Ensuite, on calcule \(16^2\), ce qui fait \(16 \times 16 = 256\) et on a :

$$4^8 = 4^4 \times 4^4 = (4^4)^2 = (~(\mathbf{4^2})^2~)^2 = (~(\mathbf{16})^2~)^2 = (~\mathbf{256}~)^2$$

Enfin, on calcule \(256^2\), ce qui fait \(256 \times 256 = 65536\). Finalement :

$$4^8 = 4^4 \times 4^4 = (4^4)^2 = (~(\mathbf{4^2})^2~)^2 = (~(\mathbf{16})^2~)^2 = (~\mathbf{256}~)^2 = \mathbf{65536}$$

Soit maintenant à déterminer la cinquième puissance de 7, c’est-à-dire \(7^5\). Puisque l’exposant, 5, est impair, la puissance \(7^5\) peut s’écrire sous la forme du produit de la base, 7, par une de ses puissances dont l’exposant est l’exposant initial moins une unité. L’exposant est donc 4 car \(5 – 1 = 4\). On peut donc écrire \(7^5\) comme suit :

$$7^5 = 7 \times 7^4$$

On va maintenant simplifier \(7^4\). Son exposant, 4, est un nombre pair donc \(7^4\) peut s’écrire sous la forme du carré d’une puissance de 7 donc l’exposant est la moitié de 4, donc 2. Alors \(7^4 = (7^2)^2\). On a maintenant l’expression :

$$7^5 = 7 \times (7^2)^2$$

Puisque nous n’avons plus que des carrés, on peut s’arrêter là et calculer \(7^5\). On commence par \(7^2\), qui donne \(7 \times 7 = 49\).

$$7^5 = 7 \times (\mathbf{7^2})^2 = 7 \times (\mathbf{49})^2$$

On calcule maintenant \(49^2\), ce qui fait \(49 \times 49 = 2401\) et on a :

$$7^5 = 7 \times (\mathbf{7^2})^2 = 7 \times \mathbf{2401}$$

Il ne reste plus qu’à multiplier la base, 7, par 2401 et on trouve 16807. On a donc finalement :

$$7^5 = 7 \times (\mathbf{7^2})^2 = \mathbf{16807}$$

J’espère qu’à travers ces exemples, vous avez pu apprécier la puissance de la technique diviser pour mieux régner. Cette technique nous sera très utile tout au long de notre épopée, donc prenez le temps de bien la maîtriser et de lui donner une place de choix dans votre boîte à outils. 😉

Voyons maintenant les propriétés des puissances, que nous pouvons déduire de tout ce que nous venons de voir.

Des propriétés des puissances

1. Tout nombre est une puissance dont l’exposant est l’unité.

Cette propriété est triviale, il n’y a donc pas grand chose à dire sur elle. Mais, elle est essentielle pour justifier ce mode. Par exemple : \(8 = 8^1\), \(152 = 152^1\), etc.

2. Le produit de deux puissances d’une même base est égal à la puissance de cette base dont l’exposant est la somme des deux premiers exposants.

Nous avons implicitement employé cette propriété dans tous les exemples que nous avons vus précédemment. En fait, quand on décompose \(7^5\) en le produit de 7 par \(7^4\), c’est parce que, comme nous l’avons dit, 5 est égale à 4 plus 1. Cette propriété nous dit que nous pouvons aller dans l’autre sens, c’est-à-dire si on a à calculer \(7 \times 7^4\), on peut dire raisonner comme suit :

$$7 \times 7^4 = 7^\mathbf{1} \times 7^\mathbf{4} = 7^{\mathbf{1 + 4}} = 7^\mathbf{5}$$

De même, on peut calculer \(3^3 \times 3^5\) comme suit :

$$3^3 \times 3^5 = 3^{\mathbf{3 + 5}} = 3^\mathbf{8}$$

On peut évidemment étendre cette propriété au cas du produit de plusieurs puissances de la même base, le résultat est la puissance de cette base dont l’exposant est la somme des exposants des puissances qui constituent ce produit. Par exemple \(7^2 \times 7^5 \times 7 \times 7^8\) donnerait :

$$7^2 \times 7^5 \times 7 \times 7^8 = 7^{\mathbf{2 + 5 + 1 + 8}} = 7^\mathbf{16}$$

Il est également clair que si des puissances d’autres bases interviennent dans le produit, on regroupe les puissances de même base entre elles et on utilise la même propriété pour trouver un autre produit mais simplifié. Par exemple, pour trouver \(7^2 \times 3^5 \times 2 \times 7^8 \times 3^2 \times 2^4 \times 3^7 \times 2^2\), il suffit de regrouper les puissances de 2 entre elles, les puissances de 3 entre elles et les puissances de 7 entre elles, comme ci-dessous :

\(
\begin{split}
7^2 \times 3^5 \times 2 \times 7^8 \times 3^2 \times 2^4 \times 3^7 \times 2^2 &= (2 \times 2^2 \times 2^4) \times (3^2 \times 3^5 \times 3^7) \times (7^2 \times 7^8) \\
&= 2^{\mathbf{1 + 2 + 4}} \times 3^{\mathbf{2 + 5 + 7}} \times 7^{\mathbf{2 + 8}} \\
&= 2^\mathbf{7} \times 3^\mathbf{127} \times 7^\mathbf{10}
\end{split}
\)

Dans l’expression précédente, je me suis permis de mettre les bases en ordre de grandeur croissante, c’est-à-dire du plus petit au plus grand. J’ai fait de même pour les exposants. Cela est possible car l’ordre des termes d’une multiplication n’est pas importante.

J’insiste sur le fait qu’une puissance donnée peut se décomposer en un produit de puissances de sa base avec des exposants dont la somme est égale à l’exposant de la puissance donnée. Par exemple \(9^5\) peut se décomposer en \(9 \times 9^4\) ou encore en \(9 \times 9^2 \times 9^2\) ou encore en \(9^2 \times 9^3\). Toutes ces puissances sont égales, mais chacune d’elles trouvera son importance en fonction de la situation.

3. Le produit de deux puissances de bases différentes mais d’exposants égaux est égal à la puissance dont la base est le produit des deux bases et dont l’exposant est l’exposant commun à ces puissances.

Par exemple, pour simplifier l’expression \(7^3 \times 2^3\), puisque les exposants sont égaux et les bases différentes, on multiplie 7 par 2 et on élève le produit à la puissance 3 :

$$7^3 \times 2^3 = (7 \times 2)^3 = 49^3$$

De même, \(3^5 \times 4^5\) peut être simplifiée comme suit :

$$3^5 \times 4^5 = (3 \times 4)^5 = 12^5$$

Cette propriété peut également s’étendre au cas du produit de plusieurs puissances de bases différentes mais de mêmes exposants. Le résultat est tout simplement la puissance dont la base est le produit des bases des puissances et dont l’exposant est l’exposant de ces puissances. Par exemple :

$$3^5 \times 4^5 \times 2^5 \times 17^5= (3 \times 4 \times 2 \times 17)^5 = 408^5$$

4. La puissance d’un nombre fractionnaire est le nombre fractionnaire dont le numérateur est la puissance du numérateur du nombre fractionnaire initial, élevé au même exposant ; et dont le dénominateur est la puissance du dénominateur du nombre fractionnaire initial, élevé au même exposant.

Par exemple, la puissance \((\frac{2}{3})^4\) est équivalente au nombre fractionnaire dont le numérateur est la puissance \(2^4\) et dont le dénominateur est \(3^4\) :

$$(\frac{2}{3})^4 = (\frac{2^4}{3^4}) = \frac{16}{81}$$

Remarquez que, comme dans le cas des nombres entiers, élever un nombre fractionnaire à une certaine puissance revient à multiplier ce nombre par lui-même la puissance fois. Ainsi, l’expression précédente est équivalente à :

$$(\frac{2}{3})^4 = \mathbf{\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}} = \mathbf{\frac{2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3 \times 3}} = (\frac{2^4}{3^4}) = \frac{16}{81}$$

Cette règle est également applicable, sans modification, aux fractions décimales.

De l’extraction des racines

Tout comme, à partir d’un nombre donné, on sent la nécessité de trouver les facteurs qui l’ont produit (décomposition en facteurs) ou de trouver l’autre facteur en connaissant un seul (division), on peut se demander comment trouver la base d’une puissance en connaissant son exposant. Cette nouvelle opération s’appelle extraction de racines. En effet, on veut trouver la racine de la puissance.

Par exemple, on nous donne la puissance 28561 et on nous demande de trouver le nombre (la base) qui élevé à la puissance 4 donne 28561. Il s’agit donc de déterminer la racine quatrième de 28561. La réponse est 13 car \(13^4 = 28561\). On dit que 13 est la racine (quatrième) de 28561. On note cette opération comme suit :

$$\sqrt[4]{28561} = 13$$

Dans cette notation, le symbole \(\sqrt{}\) est appelé radical. On place le degré de la racine dans les branches, et on place la puissance dont on cherche la racine, sous le radical. Ainsi, puisque 49 est égal à \(7^2\), on dit que la racine carrée (ou racine deuxième) de 49 est 7 et on la note \(\sqrt{49}\). Et puisque 125 est la troisième puissance de 5, on dit que 5 est la racine cubique (ou racine troisième) de 125 et on la note \(\sqrt[3]{125}\).

Remarquez que dans le cas de la racine carrée, on ne met pas le 2 dans les branches. Car on commence généralement à déterminer les racines à partir de la racine carrée.

Les plus attentifs d’entre vous ont pu constater que je n’ai pas donné de méthode claire pour déterminer les racines d’un nombre. Cela est dû au fait que cette opération est essentiellement différente des autres. La racine d’un nombre peut donner un nombre d’un type qui dépasse le cadre de l’Arithmétique. Et plus le degré de la racine cherchée est grand, plus difficile devient sa déterminer. Nous étudierons les méthodes générales de détermination des racines en Algèbre. Aussi, à la prochaine section, nous ne verrons que des techniques pour déterminer les racines carrées.

De la détermination de la racine carrée d’un nombre à moins de deux chiffres

Tout comme il faut connaître la table de Pythagore des nombres simples pour effectuer la multiplication des grands, il faut connaître, si possible par cœur, la table des carrés et des cubes des nombres simples. Voici cette table :

Cette table nous permet de déterminer la racine carrée ou cubique d’un nombre qui apparaît dans la table. Par exemple, si on se propose de trouver la racine cubique de 512, il suffit juste de localiser 512 dans la ligne des cubes et de regarder le nombre auquel il correspond dans la même colonne à la première ligne. On voit que ce nombre est 8, donc \(\sqrt[3]{512} = 8\). De même, si on veut déterminer la racine carrée de 81, on localise 81 dans la ligne des carrés et dès qu’on le trouve on regarde le nombre auquel il correspond dans la même colonne à la première ligne. Et ce nombre est 9, donc \(\sqrt{81} = 9\).

En regardant bien ce tableau, on remarque que les nombres (carrés et cubes) deviennent de plus en plus grands à mesure que les racines grandissent, donc de gauche à droite et du haut vers le bas. Alors 729, qui est le cube de 9, est le plus grand cube, et également le plus grand nombre de cette table. De même, 81 est le plus grand carré de cette table. Il est donc inutile de rechercher, dans cette table, la racine carrée d’un nombre plus grand que 81 ou la racine cubique d’un nombre qui est plus grand que 729. Il faut pour cela étendre le tableau à des nombres plus grands. Par exemple, la racine de 225 est 15. Il aurait fallu étendre la table jusqu’à au moins 15 pour la trouver.

En regardant encore plus attentivement la table précédente, on remarque que certains nombres n’apparaissent pas dans la ligne des carrés ou dans celle des cubes. On sait également, de la discussion précédente, qu’ils ne peuvent pas se trouver dans une extension de cette table, puisqu’ils devraient dans ce cas être plus grands que les nombres de la table. Où sont-ils donc passés ? Il est évident que ces nombres n’ont pas de racines carrées ou cubiques entières. On obtient le type de nombre dont j’ai parlé précédemment. Par exemple, si on veut trouver la racine carré de 47, la table nous montre qu’elle doit se trouve entre la racine carré de 36 (donc 6) et la racine carrée de 49 (donc 7). C’est tout ce que nous pouvons savoir pour l’instant.

Mais, attendons un instant, ne pourrait-il s’agir des nombres fractionnaires ? C’est la question à laquelle on est immédiatement conduit, puisque nous avons vu qu’ils se trouvent entre deux nombres entiers, une infinité de nombres fractionnaires. Mais, cela ne peut être le cas, puisque, comme nous l’avons déjà vu, les puissances d’un nombre fractionnaires sont également des nombres fractionnaires. Alors, puisque 47 n’est pas un nombre fractionnaire, sa racine carrée ne peut l’être. Nous venons donc d’exclure cette possibilité. Et nous sommes obligés de reconnaître qu’il s’agit d’un type de nombres que nous n’avons pas encore vu. On les appelle nombres irrationnels ou nombres incommensurables. Irrationnels, mot dérivé de ratio c’est-à-dire rapport, car ils ne peuvent pas se mettre sous forme fractionnaire. Incommensurables, mot dérivé de mesure, car ils n’ont pas de commune mesure entière avec l’unité. On dit aussi qu’ils ne sont pas aliquotes avec l’unité.

De la détermination de la racine carrée d’un nombre quelconque

Nous allons ici voir des méthodes pour déterminer la racine carrée d’un nombre quelconque. Lorsque le nombre n’apparaît pas dans la table précédente et n’est pas non plus un carré exact, il est intéressant de savoir à l’avance combien de chiffres sa racine carrée peut comporter. Cela nous permettra d’ignorer tous les racines qui n’ont pas le même nombre de chiffres. Cette stratégie d’élimination s’appelle filtrage.

D’après la table précédente, la racine carrée d’un nombre à un chiffre est un nombre à un chiffre. La racine carrée d’un nombre à deux chiffres est un nombre à un chiffre car la racine carrée du plus petit nombre à trois chiffres, c’est-à-dire 100, est le nombre 10, qui est le plus petit nombre à deux chiffres. Donc tous les nombres de 1 à 99 ont pour racine carrée un nombre à un chiffre.

Les racines carrées des nombres à trois chiffres et à quatre chiffres sont des nombres à deux chiffres, car la racine carrée du plus petit nombre à cinq chiffres, c’est-à-dire 10 000, est 100, qui est un nombre à trois chiffres. Donc tous les nombres de 100 à 9999 ont pour racine carrée un nombre à deux chiffres.

Les racines carrées des nombres à cinq chiffres et à six chiffres sont des nombres à trois chiffres, car la racine carrée du plus petit nombre à sept chiffres, c’est-à-dire 1 000 000, est 1000, qui est un nombre à quatre chiffres. Donc tous les nombres de 1000 à 999999 ont pour racine carrée un nombre à trois chiffres.

Et ainsi de suite.

On en déduit que si un nombre contient un nombre de chiffres pair, alors sa racine carrée contient un nombre de chiffres qui est la moitié du nombre de chiffres de la puissance. Et si ce nombre contient un nombre de chiffres impair, alors sa racine carrée contient un nombre de chiffres qui est la moitié du nombre de chiffres de la puissance “plus un“.

Grâce à cette règle, on sait par exemple que puisque 201457 a six chiffres (nombre pair), sa racine carrée a un nombre de chiffres qui est la moitié de six, donc trois chiffres (\(3 = 6 \div 2\)). De même, on sait que puisque 512455668 a neuf chiffres (nombre impair), sa racine carrée a un nombre de chiffres qui est la moitié de neuf plus un donc cinq chiffres.

Notez bien que quand je parle de nombre de chiffres ici, il s’agit de la partie entière uniquement, la partie décimale n’étant pas considérée.

Quoique le fait de connaître le nombre de chiffres que comprend la racine carrée ne nous donne pas la valeur exacte de cette racine carrée, elle nous donne, en revanche, une information capitale sur la localisation de la racine carrée. Par exemple, puisqu’on sait que la racine carrée de 512455668 a cinq chiffres, on sait immédiatement que cette racine carrée est située entre le plus petit nombre de cinq chiffres et le plus grand nombre de cinq chiffres, inclus. Elle est donc comprise entre 10 000 et 99 999. Ça nous évite donc de chercher cette racine parmi les nombres plus petits que 10 000 ou parmi les nombres plus grands que 99 999.

La racine carrée d’un nombre à trois ou quatre chiffres

L’extraction de racines étant l’opération inverse de l’élévation à la puissance, on peut se servir de cette dernière pour trouver la première. On va dans cette section analyser pas à pas le carré d’un nombre à deux chiffres et en déduire une méthode pour déterminer les racines carrées à deux chiffres.

Étudions le produit de 36 par lui-même et celui de 48 par lui-même. Posons l’opération :

\(
\begin{array}{cl}
\phantom{0}~~\phantom{0}~\phantom{0}~3~6 & \\
\times~\phantom{0}~\phantom{0}~3~6 & \\ \hline
\phantom{0}~~\phantom{0}~\phantom{0}~3~6 & \ldots 6 \times 6 = 6^2 \\
\phantom{0}~~\phantom{0}~1~8~\phantom{0} & \ldots 6 \times 3\\
\phantom{0}~~\phantom{0}~1~8~\phantom{0} & \ldots 3 \times 6\\
\phantom{0}~~\phantom{0}~9~\phantom{0}~\phantom{0} & \ldots 3 \times 3\\ \hline
=1~2~9~6 & \\
\end{array}
\)
\(
\begin{array}{cl}
\phantom{0}~~\phantom{0}~\phantom{0}~4~8 & \\
\times~\phantom{0}~\phantom{0}~4~8 & \\ \hline
\phantom{0}~~\phantom{0}~\phantom{0}~6~4 & \ldots 8 \times 8 = 8^2\\
\phantom{0}~~\phantom{0}~3~2~\phantom{0} & \ldots 8 \times 4\\
\phantom{0}~~\phantom{0}~3~2~\phantom{0} & \ldots 4 \times 8\\
\phantom{0}~~1~6~\phantom{0}~\phantom{0} & \ldots 4 \times 4 = 4^2\\ \hline
=2~3~0~4 & \\
\end{array}
\)

Ces opérations, telles que je les ai posées, sont plus détaillées que ce qu’on a eu l’habitude de voir. En fait, j’ai disposé, l’un après l’autre, les résultats des produits partiels. Ces détails sont importants dans le cadre actuel. Je veux juste bien montrer les nombres qui constituent le produit total. Comme vous pouvez le voir, le carré de 36 est la somme du carré de 6, du produit de 6 par 3, du produit de 3 par 6 et du carré de 3. De même, le carré de 48 est la somme du carré de 8, du produit de 8 par 4, du produit de 4 par 8 et du carré de 4. Notez que le produit de 6 par 3 et le produit de 3 par 6 donnent exactement le même nombre. On aurait donc pu dire que le carré de 36 est la somme du carré de 6, de deux fois le produit de 6 par 3 et du carré de 3.

De ces premières observations, nous pouvons généraliser en disant que le carré de tout nombre à deux chiffres est égal à la somme des carrés de ces chiffres et du double du produit de ses chiffres.

Poursuivons notre analyse. Dans la suite, au lieu de parler spécifiquement des chiffres de opérations, nous utiliserons les appellations générales. Dans un nombre à deux chiffres, il n’y a que des unités et des dizaines, donc lorsque je dirai le mot unités, pensez automatiquement aux chiffres 6 et 8 de notre exemple. De même, quand je parlerai de dizaines, il s’agit de 3 et 4.

On remarque que le carré des unités intervient dans les deux chiffres de droite du produit global et peuvent éventuellement contribuer, par les retenues, aux deux chiffres de droite du produit global. Dans notre exemple, dans la puissance 2304, les chiffres 0 et 4 proviennent du carré de 8, c’est-à-dire 64. Le chiffre 4 de 2304 est exactement celui de 64, puisque 2304 est un carré. Le chiffre 0 est la somme de 6 et des autres chiffres provenant du produit de 6 et 3.
On remarque, de même, que le carré des dizaines intervient dans les deux chiffres de gauche du produit global. Mais, ce carré ne peut pas intervenir dans les deux chiffres de droite, car les retenues sont distribuées de droite à gauche (et non de gauche à droite).
Rappelons maintenant que, puisque 2304 a quatre chiffres, nous savons d’ores et déjà que sa racine carrée comportera exactement deux chiffres.

De ces deuxièmes observations, nous pouvons dire que, comme les deux chiffres de gauche de la puissance proviennent du chiffre des unités de la base, alors le carré du chiffre des unités est le carré le plus proche des deux chiffres de gauche de la puissance. Dans la puissance 2304, puisque le carré le plus proche de (mais plus petit ou égal à) 23 est 16, on peut estimer que le chiffre des dizaines du nombre dont le carré est 2304 est la racine carrée de 16, donc 4. Nous venons donc de déduire le chiffre des dizaines de la racine carrée de 2304. N’est-ce pas génial ? Si vous n’arrivez pas à le ressentir, alors relisez le raisonnement qui nous a mené à ce résultat et vous verrez.
Le même raisonnement s’applique pour la puissance 1296. Le carré le plus proche de (mais plus petit ou égal à) 12 est 9, on peut estimer que le chiffre des dizaines du nombre dont le carré est 1296 est la racine carrée de 9, donc 3. Le chiffre 3 est donc le chiffre des dizaines de la racine carrée de 1293.

Puisque nous avons trouvé les dizaines, il ne reste plus qu’à trouver les unités. Pour cela, puisqu’on sait que le carré des unités peut contribuer à la valeur des deux chiffres de gauche de la puissance, on va trouver la valeur de cette contribution. Dès qu’on aura cette valeur, on la placera à gauche des deux chiffres de droite de la puissance. Ce qui formera un nombre de trois ou quatre chiffres. Dans ce nouveau nombre, la contribution de la somme du carré des unités de la base qu’on recherche et du double du produit des chiffres de cette base. Mais, dans cette contribution, la part correspondant au double produit des chiffres de la base ne s’étend pas jusqu’au chiffre des unités de ce nouveau nombre, car ce chiffre fait intégralement partie du carré du chiffre des unités de la base. On est donc assuré que la contribution du double produit des chiffres de la base se limite aux chiffres du nouveau nombre exceptées les unités. Puisque le nombre partiel constitué par ces chiffres contient intégralement la contribution du double produit des chiffres de la base et puisqu’on connaît un des facteurs de ce produit (c’est le chiffre des dizaines déjà déterminé), on peut en déduire le second, en divisant ce nombre partiel par le double du chiffre des dizaines de la base. Et bingo ! ce second facteur est le chiffre des unités de la base. Pour vérifier l’exactitude de ce résultat, il faut remarquer que la division précédente admet un reste, qui placé à gauche du chiffre des unités de la puissance doit former le carré du chiffre des unités de la base, que nous venons de trouver (si la puissance initiale est un carré parfait).

Appliquons cela à notre exemple. Dans le cas de la puissance 2304, on a trouvé que 4 est le chiffre des dizaines de sa racine carrée. Puisque \(4^2 = 16\), on retranche ce résultat de 23 et on obtient 7. Ce nombre 7 est la contribution du carré des unités et du double du produit des chiffres de la racine carrée de 2304, aux deux chiffres de gauche de 2304 (donc 23). On place ces 7 à côté de 04, et on obtient 704. Dans ces 704, la contribution du double produit des chiffres de la racine carrée qu’on cherche se limite aux deux premiers chiffres (de gauche à droite), donc de 70, car les 4 unités font partie du carré des unités de la racine. Alors, 70 étant égal à deux fois le produit de 4 et d’un autre facteur, on trouve ce facteur en divisant 70 par 2 fois 4, donc par 8. On obtient \(70 \div 8 = 8\). Le chiffre 8 est donc le chiffre des unités de la racine carré. Ce résultat est correct car en retranchant le carré de 8, c’est-à-dire 64, dans 70, on obtient 6, qui placé à côté du chiffre des unités de 2304, c’est-à-dire 4, forme 64 qui est le carré du chiffre des unités de la racine carrée. En fin de compte, 48 est donc la racine carrée de 2304.
On pose l’opération comme suit :

\(
\begin{array}{rcl}
& 2~3~~0~4 & \\
& 1~6~~\phantom{0}~\phantom{0} & \ldots \text{Carré du chiffre des dizaines, 4}\\
\text{Reste} & \overline{\phantom{0}~\mathbf{7}}~~\phantom{0}~\phantom{0} &
\end{array}
\)

\(
\begin{array}{rc|ll}
& \mathbf{7}~0~~4 & ~8~ & = \mathbf{4} \times 2\\
& 6~4~~\phantom{0} & \overline{~\mathbf{8}~} & \text{Chiffre des unités de la racine carrée}\\
\text{Reste} & \overline{\phantom{0}~6}~\phantom{0} & ~\phantom{0}~ & \\
& \phantom{0}~6~4 & ~\phantom{0}~ &  \\
& \phantom{0}~6~4 & ~\phantom{0}~ & \text{Carré des unités de la racine carrée} \\
& \overline{\phantom{0}~\phantom{0}~\mathbf{0}} & ~\phantom{0}~ & \text{Nul car 2304 est un carré parfait}
\end{array}
\)

Dans le cas de la puissance 1296, on a trouvé que 3 est le chiffre des dizaines, il reste donc à trouver le chiffre des unités. On procède comme précédemment. En retranchant le carré de 3, c’est-à-dire 9, des deux chiffres de gauche 1296, c’est-à-dire 12, on obtient 3. On place ces 3 à gauche de 96 et on obtient le nombre 396. Dans ce nombre, la contribution du double produit des chiffres de la racine carrée (ou de la base) recherchée, est intégralement contenue dans les deux chiffres de gauche, soit dans 39. On divise donc 39 par le double de 3, ce qui fait \(39 \div (3 \times 2) = 6\). Le nombre 6 est donc le chiffre des unités de la racine carrée. On vérifie ce résultat en remarquant que lorsqu’on retranche le carré de 6, c’est-à-dire 36, des 39, on obtient 3, qui placé à gauche du chiffre 6 des unités de 1296, donne 36 qui est le carré du chiffre des unités de la racine carrée.  On peut donc dire que la racine carrée de 1296 est 36.

On pose l’opération comme suit :

\(
\begin{array}{rcl}
& 1~2~~9~6 & \\
& \phantom{0}~9~~\phantom{0}~\phantom{0} & \ldots \text{Carré du chiffre des dizaines, 3}\\
\text{Reste} & \overline{\phantom{0}~\mathbf{3}}~~\phantom{0}~\phantom{0} &
\end{array}
\)

\(
\begin{array}{rc|ll}
& \mathbf{3}~9~~6 & ~6~ & = \mathbf{3} \times 2\\
& 3~6~~\phantom{0} & \overline{~\mathbf{6}~} & \text{Chiffre des unités de la racine carrée}\\
\text{Reste} & \overline{\phantom{0}~3}~\phantom{0} & ~\phantom{0}~ & \\
& \phantom{0}~3~6 & ~\phantom{0}~ &  \\
& \phantom{0}~6~4 & ~\phantom{0}~ & \text{Carré des unités de la racine carrée}\\
& \overline{\phantom{0}~\phantom{0}~\mathbf{0}} & ~\phantom{0}~ & \text{Nul car 2304 est un carré parfait}
\end{array}
\)

Notez que la vérification donne un reste nul que parce que le nombre dont on cherche la racine est un carré parfait. Si ce n’était pas le cas, on aurait un reste non nul, et la racine trouvée ne serait pas une racine exacte. On dit que c’est la racine carrée à moins d’une unité près. Voyons cela dans l’exemple suivant. Le but est de trouver la racine carrée de 629. Puisque ce nombre a trois chiffres, on sait que sa racine carrée aura deux chiffres. Le carré des dizaines de cette racine est contenu dans le premier chiffre de 629 (de la gauche à la droite), donc dans 6. Le plus carré dans 6 étant 4, alors 2 est le chiffre des dizaines de la racine carrée (\(2^2 = 4\)). On retranche les 4 de 6, ce qui donne 2, et on place ces 2 à gauche de 29. Ce qui nous donne 229. Le double produit des chiffres de la racine carrée étant contenu dans les chiffres de ce nombre, sauf dans les unités, 22 contient donc intégralement ce double produit. Connaissant un facteur de ce double produit, on peut déterminer le second. On a \(22 \div (2 \times 2) = 5\). Le nombre 5 obtenu est donc le chiffre des unités de la racine carrée. La racine carrée de 629 est donc 25. Mais, ce n’est pas une racine carrée exacte. En effet, \(22 – 2 \times 2 \times 5 = 2\), en plaçant ces 2 à gauche du chiffre 9 (unités de 629), on obtient 29. En retranchant le carré de 5 dans 29, on trouve un reste de 4. Cela montre que 629 n’est pas un carré parfait et donc que 25 n’est pas une racine carrée exacte. En effet, \(25^2 = 625\). On dit que 25 est la racine carrée à moins d’une unité près.

On pose l’opération comme suit :

\(
\begin{array}{rcl}
& 6~~2~9 & \\
& 4~~\phantom{0}~\phantom{0} & \ldots \text{Carré du chiffre des dizaines, 2}\\
\text{Reste} & \overline{\mathbf{2}}~~\phantom{0}~\phantom{0} &
\end{array}
\)

\(
\begin{array}{rc|ll}
& \mathbf{2}~2~~9 & ~4~ & = \mathbf{2} \times 2\\
& 2~0~~\phantom{0} & \overline{~\mathbf{5}~} & \text{Chiffre des unités de la racine carrée}\\
\text{Reste} & \overline{\phantom{0}~2}~\phantom{0} & ~\phantom{0}~ & \\
& \phantom{0}~2~9 & ~\phantom{0}~ &  \\
& \phantom{0}~2~5 & ~\phantom{0}~ & \text{Carré des unités de la racine carrée}\\
& \overline{\phantom{0}~\phantom{0}~\mathbf{4}} & ~\phantom{0}~ & \text{Non nul car 2304 n’est pas un carré parfait}
\end{array}
\)

Il peut arriver que le reste qu’on trouve soit tellement grand qu’on doute de la racine carrée trouvée. Dans ce cas, pour en avoir le cœur net, il suffit de calculer le carré du nombre entier qui est immédiatement plus grand que la racine carrée, c’est-à-dire la racine carrée plus un, et de soustraire le carré de la racine carrée. Si la différence obtenue est plus petite que le reste, alors la racine carrée est fausse, sinon elle est correcte.

Par exemple, en appliquant la même que dans les autres cas, on trouve que la racine carrée de 675 donne encore 25, mais avec un reste de 50 (car \(675 – 25^2 = 50\)). Ce reste est suffisamment grand pour nous faire douter de la racine carrée trouvée. On vérifie l’exactitude de ce résultat, en calculant le carré de 26 (\(25 + 1\)), ce qui donne 676. Puisque \(676 – 625 = 51\), une différence plus grande que le reste 50, on est assurés que 25 est bien la racine carrée de 675.

Remarquez que dans le calcul précédent, nous avons fait la différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs (c’est-à-dire que la différence entre les deux est l’unité). Cette opération est tellement courante qu’il y a un moyen plus simple d’arriver au résultat, sans avoir à calculer des carrés. Cela se formule en la règle suivante : la différence des carrés de deux nombres consécutifs est égale au double du plus petit de ces nombres augmenté de l’unité. Ainsi :

$$26^2 – 25^2 = 25 \times 2 + 1 = 51$$

Nous verrons en Algèbre la règle générale pour calculer la différence des carrés de deux nombres quelconques sans avoir à calculer chaque carré.

La racine carrée d’un nombre à plus de quatre chiffres : Algorithme

La méthode que nous avons vue pour l’extraction de la racine carrée des nombres à trois ou quatre chiffres se généralise trivialement aux nombres à plus de quatre chiffres. Il faut d’abord remarquer que leurs racines carrées ont plus de deux chiffres. Ici encore, on va diviser pour mieux régner afin de réduire notre problème au cas le plus simple que nous avons traité dans la section précédente. Étant capables de résoudre le petit problème (ou sous-problème), nous nous rendons capables de résoudre le grand problème. Voici comment nous allons procéder.

  1. Puisque dans le cas le plus simple, la racine carrée ne comportait que des dizaines et des unités, on va supposer que la racine carrée d’un nombre à plus de quatre chiffres n’est composée que de dizaines et d’unités. Les unités étant vraiment le chiffre des unités et les dizaines étant formées des chiffres des dizaines, des centaines, des milliers, etc. On considère que tout ce groupe forme un seul chiffre, celui des dizaines. On vient donc de ramener le grand problème au petit problème que nous savons résoudre. À ce stade, il faut remarquer dans le petit problème, on disait que le carré du chiffre des dizaines de la racine carrée ne contribuait pas dans le chiffre des unités de son carré. Dans le grand problème, on considère que le carré des dizaines de la racine carrée ne contribue ni dans le chiffre des unités ni dans celui des unités de son carré.
  2. En partant de droite, on subdivise le nombre en plusieurs portions de deux chiffres séparées d’un point. Et on commence recherche de la racine carrée globale en commençant par la première portion (en allant de gauche à droite). Cette portion contient le plus grand carré du chiffre des dizaines de la racine. On déterminant ce carré, on détermine immédiatement le chiffre des dizaines de la racine et on cherche maintenant son chiffre des unités.
  3. On retranche de la portion actuelle, le carré du chiffre des dizaines et on obtient un reste partiel.
  4. On place à droite de ce reste partiel, la portion suivante du nombre global. On obtient un nombre partiel. On considère que ce nombre n’est composé que d’unités et de dizaines. Les unités étant vraiment le chiffre des unités de ce nombre et les dizaines étant le groupe constitué des dizaines, des centaines, des milliers, etc.
  5. On détermine maintenant le chiffre des unités de la racine en divisant le groupe des dizaines du nombre partiel par le double du chiffre des dizaines de la racine carrée (obtenu au point 2.). Le quotient obtenu est le chiffre des unités. On place ce chiffre à droite du chiffre des dizaines, ce qui donne une racine carrée partielle. Si le quotient obtenu est plus grand que 9, il aura donc deux chiffres. Dans ce cas, on prend 9 comme racine partielle.
    On considère que cette racine partielle est le chiffre des dizaines de la racine globale et on va maintenant chercher son chiffre des unités.
  6. On forme le nombre composé du double du chiffre des dizaines de la racine partielle suivi de son chiffre des unités, et on multiplie ce nombre par le chiffre des unités. On retranche le produit obtenu du nombre partiel obtenu au point 4, et on obtient un nouveau reste partiel.
  7. S’il reste encore une portion du nombre global à placer à droite du reste partiel, on reprend le processus à partir du point 4. Si non, on passe au point suivant.
  8. La racine partielle est la racine carrée globale recherchée.

Appliquons cet algorithme pas à pas sur un exemple. Soit à déterminer la racine carrée du nombre 5412837. Ce nombre a sept chiffres, alors sa racine carrée a quatre chiffres (\(4 = 7 \div 2 + 1\)). Pour rendre ce grand nombre facile à manipuler, voici comment nous allons diviser (dans le sens de diviser pour mieux régner et non dans le sens arithmétique du terme). En partant des chiffres de droite à ceux de gauche, on suppose d’abord que la racine carrée comporte un seul chiffre des unités et que les trois chiffres restants forment ensemble un seul chiffre des dizaines. Ensuite, on suppose aussi que le nombre 5412837 est composé uniquement d’unités, 37, et de dizaines 54128. Avec ces hypothèses, on a ramené le problème au sous-problème de la recherche de la racine carrée d’un nombre à deux chiffres. Le nombre partiel des dizaines, 54128, est un nombre à cinq chiffres. On va donc encore supposer qu’il n’est composé que d’unités, 28, et de dizaines, 541. Enfin, on suppose que 541 n’est composé que d’unités, 41, et de dizaines, 5. On peut maintenant appliquer la méthode d’extraction des racines que nous avons vue à la section précédente. Pour mieux se rappeler des subdivisions du nombre 5412837, on sépare chaque portion d’un point rouge pour ne pas qu’il soit confondu avec le point décimal. On a donc 5.41.28.37

On commence la recherche de la racine carrée par le nombre 5.41. Le carré des dizaines de cette racine carrée est le plus grand carré contenu dans 5. Ce carré est 4, donc 2 est le chiffre des dizaines de la racine recherchée. Puisque le carré des dizaines contribue uniquement dans la portion 5, on le retranche de 5, et on obtient 1 (\(5 – 2^2 = 1\)). On place à droite de cette unité le chiffre suivant du nombre partiel 5.41, donc 4, et on a maintenant 14. Dans ces 14, il y a la contribution du double produit des dizaines et des unités de la racine carrée et la contribution éventuelle du carré des unités. Puisqu’on ne connaît pas le chiffre des unités (c’est lui qu’on cherche), la seconde contribution ne peut pas servir pour l’instant, alors on se concentre sur la première. 14 étant, en partie, formé du double produit des dizaines et des unités de la racine carrée et puisqu’on connaît un des facteurs de ce produit (le chiffre des unités), on déduit l’autre facteur (le chiffre des dizaines) en divisant 14 par le double du facteur connu. On a donc \(14 \div (2 \div 2) = 3\) et il reste 2. Le quotient 3 est donc le chiffre des dizaines de la racine carrée. Nous avons donc les deux premiers chiffres qui constituent la racine carrée globale, c’est le nombre 23. Nous reviendrons sur cette racine carrée partielle. En attendant, occupons-nous du reste 2. On place à sa droite le dernier chiffre du nombre partiel 5.41, c’est-à-dire 1, et on obtient 21. De ces 21, on retranche le carré du chiffre des unités, 3, de la racine carrée — puisqu’il est maintenant connu — et on obtient 12 (\(21 – 3^3 = 12\)). Faisons une remarque avant de continuer.

On aurait pu arriver à ces 12 en un coup. Pour ce faire, après avoir retranché des 5, le carré de 2 et obtenu 1, on aurait pu faire descendre la portion suivante, c’est-à-dire 41, au lieu de descendre les chiffres l’un après l’autre. On aurait donc obtenu 141. Ensuite, on aurait pu former le nombre composé (de gauche à droite) du double du chiffre des dizaines, 2, suivi du chiffre des unités, 3. Ce qui donne 43. Il ne resterait plus qu’à multiplier ces 43 par le chiffre des unités, 3, et à retrancher ce produit des 141 :

$$141 – 43 \times 3 = 12$$

Dans la suite, nous ferons de cette manière car c’est plus rapide, mais c’est exactement la même chose que de faire en deux temps. Revenons maintenant sur la racine carrée partielle 23. On va la considérer comme chiffre des dizaines de la racine carrée globale. On cherche donc le chiffre des unités. Plaçons à droite du reste 12, la portion suivante du nombre global dont on cherche la racine carrée, donc 28. Ce qui donne 12.28. On va encore considérer que ce nombre n’est composé que d’unités, 8, et de dizaines 122. On va donc déplacer le point vers la droite et on a 122.8. Je répète que ce point est utile pour que vous compreniez comment on manipule les nombres. Avec l’habitude, vous n’en aurez pas besoin… On divise maintenant la portion 122 par le double des dizaines pour obtenir les unités, donc \(122 \div (23 \times 2) = 2\). le nouvelle racine partielle est alors 232. On forme le nombre composé du double de la racine partielle, 23, suivi du chiffre des unités, 2, donc 462. Et on détermine le reste comme suit :

$$1228 – 462 \times 2 = 304$$

On place à droite de ce reste la dernière portion du nombre global dont on recherche la racine carrée, donc 37. On a donc 304.37. On considère maintenant que la racine partielle 232 est le chiffre des dizaines de la racine globale. On va donc chercher le chiffre des unités. On considère de même que le nombre partiel 30437 n’est composé que d’unités, 7, et de dizaines, 3043. On déplace donc le point d’un chiffre vers la droite et on a 3043.7. Pour trouver le chiffre des unités de la racine globale, on divise 3043 par le double des dizaines de la racine globale, donc par \(232 \times 2 = 464\). On obtient \(3043 \div 464 = 6\). La nouvelle racine partielle est donc 2326 et elle est la racine carrée globale de 5412837. Car elle contient quatre chiffres, et il n’y a d’ailleurs plus de portion de 5412837 à placer à côté du reste. En parlant de reste, voici sa valeur (on le calcule comme les autres fois) :

$$30437 – 4646 \times 6 = 2561$$

Encore une fois, ce reste est tellement grand qu’on peut douter de l’exactitude de la racine carrée qu’on a trouvée. On vérifie donc en calculant la différence \(2327^2 – 2326^2\) grâce à l’expression que nous avons vue :

$$2327^2 – 2326^2 = 2326 \times 2 + 1 = 4653$$

La différence, 4653, étant largement plus grande que 2561, nous sommes assurés de l’exactitude la racine carrée.

On peut poser cette opération comme sur la figure suivante :

Extraction de la partie entière de la racine carrée de 5412837

Extraction de la partie entière de la racine carrée de 5412837

Une remarque importante est que si l’un des nombres (ou dividendes) partiels est plus petit que le diviseur, ça veut dire que le prochain chiffre des unités de la racine carrée est 0, on place donc ce zéro à droite de la racine carrée partielle et on place la prochaine portion du nombre global, à droite du reste partiel.

De l’extraction de la racine carrée d’un nombre fractionnaire

On applique ici la même règle que pour l’élévation à la puissance. Il suffit de prendre la racine carrée de chaque terme du nombre fractionnaire. Par exemple, la racine carrée de \(\frac{163}{225}\) se calcule comme suit :

$$\sqrt{\frac{163}{225}} = \frac{\sqrt{163}}{\sqrt{225}} = \frac{13}{15}$$

En général, on peut ramener cette opération à la détermination d’une seule racine, plutôt que de deux. Il suffit de multiplier les deux termes de la fraction par le numérateur ou par le dénominateur, puisque ça ne change pas la valeur de la fraction. En plus, la racine carrée du carré d’un nombre donne le nombre lui-même, un terme de la fraction perd son radical. Par exemple :

$$\frac{7}{12} = \frac{7 \times 7}{12 \times 7} = \frac{7^2}{84}$$

On prend maintenant la racine carrée de ce résultat :

$$\sqrt{\frac{7^2}{84}} = \frac{\sqrt{7^2}}{\sqrt{84}} = \frac{\sqrt{7^2}}{\sqrt{84}} = \frac{7}{\sqrt{84}}$$

Ou :

$$\frac{7}{12} = \frac{7 \times 12}{12 \times 12} = \frac{7 \times 12}{12^2} = \frac{84}{12^2}$$

Et :

$$\sqrt{\frac{84}{12^2}} = \frac{\sqrt{84}}{\sqrt{12^2}} = \frac{\sqrt{84}}{12}$$

De l’approximation de la racine carrée d’un nombre quelconque par un nombre fractionnaire

Les méthodes que nous avons vues pour extraire la racine carrée d’un nombre ne permet que de trouver la partie entière de cette racine. C’est déjà bien mais on peut vouloir connaître certaines décimales de cette racine. Pour ce faire, nous utiliserons ce que avons vu dans la section précédente.

Soit à trouver la racine carrée de 7. On sait que la partie entière de cette racine est 2. Je rappelle qu’on dit aussi que 2 est la racine de 7 à moins d’une unité près. Si on veut la racine carrée de 7 à moins de \(\frac{1}{10}\) d’unité près, on multiplie et on divise 7 par le carré de 10 et on applique la racine carrée à ce nombre :

$$7 = \frac{7 \times 10^2}{10^2}$$

Donc :

$$\sqrt{7} = \sqrt{\frac{7 \times 10^2}{10^2}} = \frac{\sqrt{7 \times 10^2}}{\sqrt{10^2}} = \frac{\sqrt{700}}{10}$$

Et puisque la racine carrée de 700 à moins d’une unité près est 26, la racine carrée de 7 à moins de \(\frac{1}{10}\) (ou à moins d’un dixième près) d’unité près est donc :

$$\sqrt{7} = \frac{26}{10} = 2.6$$

Ainsi 2.6 est la racine carrée de 7 à moins de \(\frac{1}{10}\) d’unité près. Si on voulait cette même racine à moins de \(\frac{1}{10000}\) d’unité près (ou à moins d’un dix-millièmes près), on aurait procéder par analogie :

$$7 = \frac{7 \times 10000^2}{10000^2}$$

Donc :

$$\sqrt{7} = \sqrt{\frac{7 \times 10000^2}{10000^2}} = \frac{\sqrt{7 \times 10000^2}}{\sqrt{10000^2}} = \frac{\sqrt{700000000}}{10000}$$

Même si 700000000 est un grand nombre, nous savons comment extraire sa racine carrée entière. On obtient 26457, la racine carrée de 7 à moins de \(\frac{1}{10000}\) d’unité près est donc :

$$\sqrt{7} = \frac{26457}{10000} = 2.6457$$

En général, on voit donc que pour trouver la racine carrée d’un nombre qui n’est pas un carré parfait à un certaine fraction décimale de l’unité près, il suffit de mettre à droite de ce nombre deux fois plus que le nombre de zéros du dénominateur de la fraction décimale, de prendre la racine carrée du nombre obtenu et de diviser cette racine par le dénominateur de la fraction décimale.

C’est ici que prend fin notre étude des modes élémentaires de génération des nombres. Dans le prochain chapitre sur l’Arithmétique, nous verrons comment comparer des nombres, qu’ils soient entiers, nombres fractionnaires ou des racines.

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