1.2. L’addition et la soustraction

Dans une riante campagne, l’homme d’argent ne voit que des rapports de foin, de blé, de bois, et son admiration, rayonnante de calculs, chiffre la nature et additionne le paysage — John Petit-Senn, Bluettes et boutades.

Le calcul des probabilités, appliqué à la mortalité humaine a donné naissance à une science nouvelle : celle des assurances — Emile de Girardin, Questions politiques (édition 1858).

Dans le chapitre précédent, nous avons vu comment on peut représenter tous les nombres dans le système de numération décimale. Nous avons également vu comment écrire les nombres en chiffres et en lettres. À vrai dire, l’écriture en lettres n’est nécessaire que dans certaines circonstances de la vie active. Par exemple, quand vous renseignez un chèque, vous devez préciser l’écriture en lettres du montant. Et souvent, dans certains écrits littéraires, il est nécessaire d’écrire les nombres en lettres avant de les écrire en chiffres. À part, ces rares cas, vous ne serez pas amenés à écrire les nombres en lettres, surtout pas en mathématique.

Dans ce cours de maths, nous verrons les opérations élémentaires qu’on peut réaliser sur les nombres. Ce sont l’addition, la multiplication, la soustraction et la division. À partir de ces opérations, nous pouvons générer de nouveaux nombres à partir de certains nombres. Comme vous le verrez, ces modes de génération sont formels et on peut les répéter à volonté. On les transcrira même sous forme de programme. Si vous avez oublié la définition d’un programme, retrouvez-la ici.

L’addition

C’est le premier mode de construction des nombres. Ce mode est tellement primitif et intrinsèque à la nature humaine que nous en avons conscience déjà dès l’enfance. Lorsque nous comptons, nous ne faisons rien d’autre qu’une simple addition, en partant d’un certain nombre (généralement 1). Considérons, par exemple, le berger qui tente de déterminer la quantité de brebis qu’il possède. Considérons aussi qu’il n’a jamais fait de maths. Comment y arrive-t-il alors ? Il prend d’abord une brebis du lot, la met de côté et il trace un trait au sol. Il prend ensuite une deuxième brebis, la met de côté et trace un deuxième trait à côté du premier. Il répète ce processus jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de brebis à mettre de côté. À ce stade, il a un certain nombre de traits au sol et il dit : “J’ai x brebis”. Voyez le x comme sa manière d’indiquer le nombre dans sa langue maternelle ou bien même dans son entendement. Le procédé utilisé par le berger pour déterminer la quantité de brebis est appelé addition. Il est parti de la première brebis et a ajouté une nouvelle brebis à la première, ensuite une nouvelle brebis jusqu’à ce qu’il ait épuisé son stock de brebis. Notez bien qu’il le fait sans connaissance d’un procédé nommé addition, il le fait par pure nécessité et parce que cela est inhérent à la nature humaine. Puisqu’il ne connaît pas les nombres et leur représentation dans la numération décimale, il trace juste des traits pour les représenter. C’est son système de numération à lui, et c’est tout à fait légitime car il arrive au même résultat que celui qui utilise le système de numération décimale. La différence se situe dans la notation mais souvenez-vous que le plus important est la signification des nombres.

De la discussion précédente, vous voyez bien que l’addition n’a rien d’imaginaire. Ce n’est pas une invention sordide de certains esprits pervers. C’est un procédé naturel. L’arithmétique vient juste nous apprendre à faire l’addition plus rapidement en utilisant certaines techniques. Avec ces techniques, on pourrait additionner les brebis deux à deux, ou trois à trois, …, au lieu d’un à un comme le fait notre berger. Voyons donc comment y arriver.

Addition de deux nombres simples

D’abord, il faut savoir qu’on additionne deux ou plusieurs nombres. On commencera par l’addition de deux nombres et on déduira le procédé qui s’applique au cas général de l’addition de plusieurs nombres. Alors, considérons que nous voudrions additionner les deux chiffres 7 et 4. En employant notre vocabulaire d’initié, on dirait qu’on veut additionner 7 unités et 4 unités. Le plus simple est soit de mettre chaque unité de 7 avec le lot de 4 unités, soit de mettre chaque unité de 4 avec le lot de 7 unités, comme sur l’image suivante :

Addition des nombres

Addition des nombres

L’image ne montre pas l’addition un à un, elle montre juste le résultat final. Mais, chaque flèche indique l’ajout d’une unité dans un lot d’unités. En utilisant notre représentation des nombres, on dirait :

  • Dans le premier cas : 4 et 1 font 5, ensuite 5 et 1 font 6, ensuite 6 et 1 font 7, ensuite 7 et 1 font 8, ensuite 8 et 1 font 9, ensuite 9 et 1 font 10, enfin 10 et 1 font 11.
  • Dans le second cas : 7 et 1 font 8, ensuite 8 et 1 font 9, ensuite 9 et 1 font 10, enfin 10 et 1 font 11.

Le texte précédent est un peu long, on va maintenant le raccourcir en utilisant des symboles mathématiques. En arithmétique, l’opération d’addition est représentée par le symbole \(+\) qui se lit plus (“plusse“). Il remplace donc le mot “et” du texte précédent. Le symbole \(=\) remplace le mot “font” et se lit égal à. Le résultat d’une addition est appelé la somme. On aurait donc ceci :

  • Premier cas : \(4 + 1 = 5\), \(5 + 1 = 6\), \(6 + 1 = 7\), \(7 + 1 = 8\), \(8 + 1 = 9\), \(9 + 1 = 10\), \(10 + 1 = 11\).
  • Second cas : \(7 + 1 = 8\), \(8 + 1 = 9\), \(9 + 1 = 10\), \(10 + 1 = 11\).

J’espère que vous saurez apprécier le gain en lisibilité que nous apporte ces symboles. 🙂

Dans l’exemple précédent, nous avons procédé comme le berger mais en utilisant notre notation. Faire de la sorte est fondamental mais très lent. On ne pourrait pas se le permettre pour des nombres plus grands. Par exemple, il serait laborieux de vouloir additionner 3541 et 845 en utilisant ce procédé. Quel est donc la solution ?

Addition de deux grands nombres

Il est clair que pour pouvoir additionner les grands nombres, on doit bien maîtriser l’addition des petits nombres. Il faut donc impérativement connaître par cœur le résultat de l’addition de deux nombres simples en faisant l’opération en un coup plutôt par ajout successif d’une unité. Ne croyez pas qu’il soit honteux de retenir cela par cœur. Vous en avez le droit car vous savez comment obtenir le résultat. Ce qui serait honteux, c’est de savoir que \(8 + 5 = 13\) mais d’ignorer totalement pourquoi.

Ceci étant dit, voici la table d’addition des nombres simples :

Table d'addition des nombres simples

Table d’addition des nombres simples

La partie coloriée en orange montre comment utiliser la table pour trouver le résultat de l’addition de 7 et 4.

Maintenant que nous maîtrisons l’addition des nombres simples, voyons comment réaliser l’addition de deux grands nombres. Essayons d’effectuer l’opération \(3541 + 845\). Avant tout, rappelez-vous qu’un nombre est composé de chiffres et que le rôle (ou la valeur) de chaque dépend de sa position dans le nombre. Il est donc évident que nous ne pouvons additionner que des chiffres qui ont ont la même importance dans un nombre. C’est-à-dire que nous pouvons additionner des unités entre elles, les chiffres des dizaines entre eux, les chiffres des centaines entre eux, etc. Mais nous ne pouvons pas additionner chiffres des dizaines et chiffres des centaines. On le traduit dans le langage courant par : “On ne peut pas associer les cabris et les moutons“. Il en est de même pour nos opérations d’addition.

Disposons donc notre opération comme suit :

\(
\begin{array}{ccccc}
\hline
& millier & centaine & dizaine & unité \\ \hline
& 1 & & & \\ \hline
& 3 & 5 & 4 & 1 \\
+ & & & & \\
& & 8 & 4 & 5 \\ \hline
= & 4 & 3 & 8 & 6 \\ \hline
\end{array}
\)

Comme vous pouvez le voir, J’ai bien disposé les chiffres selon leur importance. Dès que l’opération est posée sous cette forme, il devient aisé de la réaliser avec le peu de connaissance que nous possédons déjà. À votre avis, comment l’addition se fait-elle ? Je vous laisse réfléchir un instant…

Vous avez trouvé ! L’addition de ces deux grands nombres se réduit à plusieurs additions de deux nombres simples de même importance (ou de même octave). On procède d’abord par l’addition des chiffres des unités, donc \(1 + 5 = 6\), et on met le résultat dans la même colonne, juste en bas de la ligne qui sépare les nombres à additionner et le résultat. On passe ensuite aux chiffres des dizaines \(4 + 4 = 8\) et on dispose le résultat dans la colonne des dizaines. Ensuite ceux des centaines \(5 + 8 = 13\). Stop ! Qu’est-ce que vous constatez ? Le résultat n’est pas un nombre simple, c’est un nombre à deux chiffres. Cela veut dire l’addition de \(5\) et \(8\) donne un nombre d’une octave supérieure. Alors le chiffre de l’octave supérieure, c’est-à-dire 1, sera ajouté aux chiffres de la colonne immédiatement à gauche. C’est pourquoi vous voyez apparaître un chiffre 1 au dessus du chiffre 3 des milliers. Ce chiffre est appelé une retenue, car on le retient pour l’ajouter au chiffre immédiatement à gauche. Enfin, on fait l’addition des chiffres des milliers \(1 + 3 = 4\). Ce qui nous donne \(3541 + 845 = 4386\). Un autre exemple rendra les choses plus claires. Essayons d’additionner \(258973\) et \(836431\). Posons l’opération comme précédemment. On a donc :

\(
\begin{array}{cccccccc}
\hline
& 1 & & 1 & 1 & 1 & & \\ \hline
& & 2 & 5 & 8 & 9 & 7 & 3 \\
+ & & & & & & & \\
& & 8 & 3 & 6 & 4 & 3 & 1 \\ \hline
= & 1 & 0 & 9 & 5 & 4 & 0 & 4\\ \hline
\end{array}
\)

Arrêtez de lire et effectuez l’opération dans votre cahier en suivant la procédure que nous avons détaillé dans le premier exemple. Vous devez trouver \(258973 + 836431 = 1095404\). Si vous n’y arrivez pas au premier essai, changez de page, posez à nouveau l’opération et reprenez le calcul. Si vous n’y arrivez toujours pas, demandez de l’aide aux membres de la communauté, sous forme de commentaire en détaillant le problème. Nous nous empresserons de répondre. 😉

Algorithme : addition de deux nombres quelconques

Voyons maintenant la procédure générale pour additionner deux nombres quelconques. Rappelez-vous qu’un algorithme est tout simplement un programme écrit en langage naturel, le français dans notre cas. L’algorithme que nous allons écrire maintenant n’a vraiment rien de sorcier, c’est juste la généralisation de la procédure qu’on a utilisée pour effectuer l’addition dans les exemples précédents. Alors, voici comment on réalise une addition :

  1. On écrit les nombres à additionner l’un sous l’autre de sorte que les chiffres de même importance, ou de même octave, soient alignés dans la même colonne : les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, …, les unités de millions sous les unités de millions, …
  2. En commençant par les unités, on fait successivement l’addition des chiffres de la même octave et on met le résultat, dans la même colonne, après le chiffre le plus en bas ;
  3. Si la somme des chiffres d’une même colonne dépasse 9, c’est-à-dire qu’elle contient exactement deux chiffres, le chiffre des unités est considéré comme la somme des chiffres de cette octave, on l’écrit donc après le chiffre le plus en bas. Le chiffre des dizaines est retenu et ajouter aux chiffres de l’octave supérieure.

Addition de plus de deux nombres

Vous vous êtes éventuellement demandés comment se fait l’addition de plus de deux nombres. Je parie même que vous avez trouvé la réponse. Il suffit juste de poser l’opération comme d’habitude. La seule différence c’est qu’on aura plus de lignes. Dès qu’on a posé l’opération, on procède au calcul en utilisant l’algorithme précédent.

Si on doit faire l’addition \(5 + 9 + 2 + 1\) dans une colonne, il faut faire l’addition des deux premiers (ou des deux derniers) chiffres, soit \(5 + 9 = 14\), ensuite additionner le résultat avec le chiffre suivant, soit \(14 + 2 = 16\), enfin ajouter le résultat au dernier chiffre, soit \(16 + 1 = 17\). On a donc : \(5 + 9 + 2 + 1 = 17\). Vous voyez bien que l’addition de plusieurs chiffres se réduit à l’addition successive de deux chiffres.

Appliquons cela à l’addition \(587 + 630 + 25 + 13\). Posons l’opération :

\(
\begin{array}{ccccc}
\hline
& 1 & 1 & 1 & \\ \hline
& & 5 & 8 & 7 \\
+ & & & & \\
& & 6 & 3 & 0 \\
+ & & & & \\
& & & 2 & 5 \\
+ & & & & \\
& & & 1 & 3 \\ \hline
= & 1 & 2 & 5 & 5\\ \hline
\end{array}
\)

On a donc : \(587 + 630 + 25 + 13 = 1255\).

De tout ce qui précède, vous comprenez que nous pouvons aisément construire de nouveaux nombres à partir de certains en utilisant l’addition, qui est le premier mode de génération des nombres. Passons maintenant au mode suivant.

La soustraction

Revenons à notre ami, le berger, et considérons le scénario suivant. Il a au départ 3 brebis, son frère lui en donne 2. Ce qui lui fait un total de \(3 + 2 = 5\) brebis. Il est très content et il élève bien ses brebis au point où son frère le jalouse et réclame les 2 brebis qu’il lui avait offerts. Notre bon berger lui rend ses brebis. Avec combien de brebis se retrouve le berger ? 3 brebis évidemment. Mais, attendez un instant, analysons le scénario arithmétiquement :

  1. Au départ : 3 brebis ;
  2. Ensuite : \(3 + 2 = 5\) brebis ;
  3. Finalement : \(5\) ?? \(2 = 3\) brebis.

Le point n°3 montre arithmétiquement comment le berger est passé de 5 brebis à 3 brebis quand son frère a récupéré ses 2 brebis. Les deux points d’interrogation (??) exprime le comment, c’est-à-dire l’opération. En arithmétique, l’opération qui consiste à enlever quelques unités d’une collection de plusieurs unités est appelée soustraction, se note \( – \) et se lit moins. Par ailleurs, soustraire, retrancher et ôter sont des synonymes. Le résultat de la soustraction est appelée la différence. Alors le point n°3 devient : \(5 – 2 = 3\) et on lit : cinq moins deux font trois ou encore 5 ôté de 3 égal à 2.

La soustraction n’est pas à proprement parler un nouveau mode de génération des nombres, car elle est intimement liée à l’addition. À l’action d’ajouter s’associe l’action de retrancher. C’est un peu comme les deux revers d’une médaille. On dit que l’addition et la soustraction sont des opérations inverses.

La soustraction est l’inverse de l’addition.

Lorsque nous ajoutons deux nombres, si nous retranchons l’un des nombres de la somme obtenue, nous obtenons l’autre nombre. C’est ce qui s’est passé dans le cas du berger : \(3 + 2 = 5\) alors \(5 – 2 = 3\) et \(5 – 3 = 2\). Alors, si nous voulons soustraire deux nombres, on se pose la question suivante : Quel nombre dois-je ajouter au second pour obtenir le premier ? La réponse à cette question est le résultat de a soustraction. Par exemple, pour la soustraction \(5 – 2\), on dirait : Quel nombre dois-je ajouter à 2 pour obtenir 5 ? Et la réponse est 3 car \(2 + 3 = 5\).

Avez-vous remarqué pourquoi l’addition et la soustraction sont inverses ? Eh bien ! tandis que le premier (l’addition) nous permet de générer des quantités de plus en plus grandes, le second (la soustraction) nous permet de générer des nombres de plus en plus petits. Rappelez de la définition d’une quantité : c’est tout ce qui est susceptible de diminuer ou d’augmenter.

Soustraction de deux nombres simples

De même que pour ajouter un nombre à un autre, on peut successivement ajouter les unités de l’un à l’autre, pour soustraire deux nombres, on peut successivement retrancher chaque unité du deuxième des unités du premier. Par exemple, pour faire \(5 – 2\), on fait d’abord \(5 – 1 = 4\), et on fait \(4 – 1 = 3\) car 2 contient deux unités (\(2 = 1 + 1\)). Voici la table de soustraction des nombres simples :

Table de soustraction des nombres simples

Table de soustraction des nombres simples

Notre exemple \(5 – 3\) est colorié en orange. Trois remarques importantes concernant cette table :

    1. On voit bien que le résultat de la soustraction de deux nombres identiques est 0 (\(2 – 2 = 0\) ou \(7 – 7 = 0\)). Cela est évident car si le frère de notre lui retirait toutes ses cinq (5) brebis, c’est-à-dire \(5 – 5\), il ne lui resterait plus rien, donc 0 ;
    2. L’action de retrancher 0 de n’importe quel nombre nous donne ce nombre comme résultat. En effet, c’est comme si on ne retranchait rien.
    3. Une bonne partie du tableau ne contient pas de nombres et vous constatez que c’est lorsque le premier nombre de la soustraction est plus petit que le deuxième nombre. Concrètement, le frère de notre berger ne peut pas lui retirer plus de brebis qu’il n’en possède. Toutefois, nous verrons plus loin comment une telle opération, qui semble insensée de prime abord, peut nous être vraiment utile.

Cette table est également à connaître par cœur. Passons maintenant à la soustraction de deux grands nombres.

Soustraction de deux grands nombres

Soit à réaliser la soustraction \(89154 – 25011\). Posons l’opération comme on le faisait pour l’addition et effectuons successivement la soustraction des chiffres de chaque colonne.

\(
\begin{array}{cccccc}
\hline
& 8 & 9 & 1 & 5 & 4 \\
– & & & & & \\
& 2 & 5 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
= & 6 & 4 & 1 & 4 & 3\\ \hline
\end{array}
\)

Nous avons donc \(89154 – 25011 = 64143\). Quel serait le résultat de \(7351 – 250\) ? Posons encore l’opération :

\(
\begin{array}{ccccc}
\hline
& 7 & 3 & 5 & 1 \\
– & & & & \\
& & 2 & 5 & 0 \\ \hline
= & 7 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}
\)

On obtient \(7351 – 250 = 7101\).

Il peut arriver que dans une colonne, le chiffre à retrancher est plus grand que le chiffre duquel on veut le retrancher. J’ai fait remarquer précédemment que nous ne pouvons pas le faire pour l’instant. Comment donc allons-nous résoudre ce problème ? Il suffit juste d’emprunter une unité sur le chiffre de l’octave supérieure et cette unité devient une dizaine lorsqu’elle est associée au chiffre de l’octave inférieure. Nous pouvons maintenant faire la soustraction puisque le chiffre à retrancher est devenu plus petit que le nombre duquel il doit être retrancher. Notez que si on emprunte une unité au chiffre de l’octave supérieure, on le lui retranche cette unité. Tout ça peut vous sembler flou actuellement. Essayons donc de clarifier les choses par quelques exemples.

Soit à réaliser l’opération \(1230 – 155\). On commence par faire \(0 – 5\), puisque 0 est plus petit que 5, on doit emprunter une unité au chiffre de l’octave supérieure, donc à 3. On a donc maintenant \(10 – 5 = 5\), on met le résultat dans la même colonne complètement en bas et on passe aux chiffres de l’octave supérieure. Puisqu’on a emprunté une unité à 3, au lieu d’avoir \(3 – 5\), on a maintenant \(2 – 5\). On voit encore que 2 est plus petit que 5, il faut donc emprunter une unité au chiffre de l’octave supérieure, donc à 2. On a maintenant \(12 – 5 = 7\). On passe ensuite aux chiffres de l’octave supérieure. On a maintenant \(1 – 1\) au lieu de \(2 – 1\), ce qui donne \(1 – 1 = 0\). Enfin, on passe à la dernière octave, on a seulement 1, donc on le met dans la même colonne complètement en bas. On a donc en fin de compte \(1230 – 155 = 1075\).

\(
\begin{array}{ccccc}
\hline
& 1 & 1 & 12 & 10 \\
+ & & & & \\
& & 1 & 5 & 5 \\ \hline
= & 1 & 0 & 7 & 5\\ \hline
\end{array}
\)

Essayons maintenant l’opération \(48008 – 35738\). On commence par faire \(8 – 8 = 0\) et on va au rang supérieur. On a \(0 – 3\), puisque 0 est plus petit que 3, on doit emprunter une unité au chiffre de l’octave supérieure, donc à 0. Il y a un problème car 0 ne contient aucune unité. Dans ce cas, on va emprunter à une octave supérieure encore, donc à 8. Le 0 de la colonne des centaines devient donc 10, on peut maintenant lui emprunter une unité et la donner au zéro de la colonne des dizaines. On aura donc \(10 – 3 = 7\) au lieu de \(0 – 3\). On passe à une octave supérieure, on a \(9 – 7 = 2\) au lieu de \(10 – 7\) puisqu’on a emprunté une unité à 10. Ensuite, on va à l’octave supérieure, on a maintenant \(7 – 5 = 2\) au lieu de \(8 – 5\). Enfin, on passe à la dernière octave, on a \(4 – 3 = 1\). On a donc en fin de compte \(48008 – 35738 = 12270\).

\(
\begin{array}{cccccc}
\hline
& 4 & 7 & 9 & 10 & 8 \\
+ & & & & & \\
& 3 & 5 & 7 & 3 & 8\\ \hline
= & 1 & 2 & 2 & 7 & 0\\ \hline
\end{array}
\)

Ce dernier exemple est un peu plus difficile que le premier car on avons dû faire deux emprunts successifs pour pouvoir faire la soustraction des deux chiffres des dizaines. Cela est toutefois simple quand on remarque bien que lorsque nous sommes sur une colonne, on emprunte à la colonne immédiatement supérieure. Si cette colonne n’est pas capable de nous faire ce prêt, c’est-à-dire lorsque le chiffre est 0, elle doit à son tour faire un emprunt à la colonne qui lui est supérieure afin qu’elle prêter une unité à la colonne qui lui est inférieure. On continue ce processus jusqu’à trouver une colonne où on peut emprunter. En général, une telle colonne existera. Si une telle colonne n’existe pas, ça veut dire qu’on essaie de retrancher un nombre plus grand d’un nombre plus petit. Ce dont nous ne sommes pas encore capable.

Je vous invite à vous exercer avec d’autres exemples pour bien maîtriser ces opérations élémentaires. Créez des exemples et faites-les. Vous n’êtes pas obligés de faire mille exemples, faites-en juste un petit nombre. Le plus important, c’est de comprendre la méthode. Écrivons maintenant l’algorithme pour effectuer une soustraction.

Algorithme : soustraction de deux nombres quelconques

  1. On écrit d’abord le plus petit des nombres à soustraire sous le plus grand de sorte que les chiffres de même importance, ou de même octave, soient alignés dans la même colonne : les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, …, les unités de millions sous les unités de millions, …
  2. En commençant par les unités, on fait successivement la soustraction des chiffres de la même octave et on met le résultat, dans la même colonne, après le chiffre le plus en bas ;
  3. Si le chiffre qui est en haut plus petit que celui qui est en bas, on l’augmente d’une dizaine empruntée sur le chiffre de l’octave supérieure, qui se trouve alors diminué d’une unité.

Dans ce chapitre, nous avons étudié le premier mode de génération des nombres, l’addition, et le mode qui lui est inverse, la soustraction. Nous avons vu comment additionner et comment soustraire des nombres quelconques. Mais, dans le cas de la soustraction, nous nous sommes astreints à ne retrancher qu’un nombre plus petit d’un nombre plus grand. On verra l’autre cas dans un prochain chapitre. Ce chapitre a été un peu long mais admirez ce que vous avez déjà accompli : vous êtes arrivés à manipuler les nombres, à en générer de nouveaux à partir de certains. C’est une grande étape de ce voyage initiatique que vous venez de franchir. Soyez-en donc fiers !

Dans le prochain chapitre, nous verrons le deuxième mode de génération des nombres. En attendant, je vous invite à prendre un café ! 🙂

PDF du cours

L'addition et la soustraction.pdf
L’addition et la soustraction
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