1.3. Arithmétique: La multiplication et la division

Non je ne baise point qu’en pure Arithmétique, – Répondis-je soudain, deux baisers savoureux – Font nombre, l’unité est un rien mal heureux – Payez moi, vous devez une chose Physique — Abraham de Vermeil, Le baiser en Amour est l’octave en Musique.

La musique est le secret arithmétique de l’âme, écrivait Leibniz — Armand Farrachi, Bach, dernière fugue.

Nous avons vu dans le chapitre précédent le premier mode de génération des nombres, l’addition, et son inverse, la soustraction. Nous allons, dans ce cours de maths, continuer sur cette lancée en étudiant le deuxième mode de génération des nombres et son inverse. Commençons avant que vous ne perdiez patience. 😆

La multiplication

Considérons de nouveau notre berger. Il est maintenant converti à l’arithmétique, il connaît les nombres et il a appris à faire l’addition et la soustraction. Il ne compte donc plus ses brebis un à un mais il peut les compter par groupe de deux, de trois, de quatre, etc. Notre berger, qui avait au départ un enclos contenant 3 brebis, se retrouve maintenant avec avec cinq enclos contenant 3 brebis chacun . Un matin, son frère — celui qui lui avait prêté 2 brebis et les a repris ensuite — débarqua et lui demanda combien de brebis il possède maintenant. Notre berger s’empressa de faire l’addition, il dit : “J’ai actuellement \(3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15\) brebis !” Son frère le félicita pour cette croissance étonnante et s’en alla. Deux mois plus tard, le berger se retrouva avec vingt enclos contenant chacun 3 brebis. Son frère vint à nouveau pour savoir combien de brebis il a maintenant. Le berger essaya de faire l’addition, il posa d’abord l’opération : \(3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +3 + 3 + 3 + 3 + 3\) et se rendit tout de suite compte que c’était laborieux d’écrire cette opération parce qu’il y a trop de nombres et, surtout, ces nombres se répètent. Il se posa donc la question : “Puisque j’ai 20 enclos de 3 brebis chacun, pourquoi n’y aurait-il pas d’opération arithmétique me permettant de trouver le nombre total de mes brebis en utilisant ces deux nombres (20 et 3) plutôt que de répéter vingt fois le nombre 3 ?”

L’opération que notre berger recherche est appelée multiplication. C’est le deuxième mode de génération des nombres. Il ressort de l’exemple précédent que ce mode n’a rien de concret. Le berger en a senti la nécessité pour raccourcir l’opération qu’il tentait de faire et pour effectuer le calcul rapidement. Pour trouver le nombre total de brebis, il est plus naturel de faire l’addition des brebis que de faire la multiplication du nombre d’enclos et du nombre de brebis par enclos. Mais, vous voyez bien que procéder par addition successive devient déjà laborieuse à partir de 20 enclos. Imaginez alors que notre berger en ait 100 ou 200 ou encore 300. La multiplication découle donc naturellement de cette nécessité de générer un nombre rapidement à partir de deux nombres.

En arithmétique, la multiplication se note \( \times \) et se lit fois. Le premier nombre de la multiplication, c’est-à-dire le nombre qu’on additionne par lui-même plusieurs fois, est appelé multiplicande. Le deuxième nombre de la multiplication, c’est-à-dire le nombre qui désigne combien de fois le multiplicande est additionné, est appelé multiplicateur. Alors, notre berger peut maintenant dire qu’il possède \(20 \times 3\) parce que le nombre 3 se répète 20 fois et le résultat est 60. Dans ce cas, 3 est le multiplicande et 20 est le multiplicateur. Pour l’instant, le berger trouve ce résultat en faisant l’addition ; nous verrons dans la section suivante comment faire la multiplication. Le résultat de la multiplication est appelé produit.

La multiplication de deux nombres simples

Rappelez-vous que multiplier quelque chose, c’est répéter cette chose un certain nombre de fois et que la multiplication vient de l’addition d’un nombre par lui-même un certain nombre de fois. Par exemple :

$$\underbrace{3 + 3 + 3 + 3 + 3}_\text{5 fois} = 3 \times 5$$

Tout comme dans le cas de l’addition, on veut être capable de faire la multiplication de deux ou plus grands nombres. Il faut pour cela maîtriser la multiplication de deux nombres simples. Et la table ci-dessous nous aidera. Il faut la connaître par cœur.

Table de multiplication des nombres simples

Table de multiplication des nombres simples

On voit comment utiliser la table pour trouver le produit de 3 et 5 (colorié en orange). Quelques remarques concernant la table de multiplication :

    • Tout nombre multiplié par 0 est égale à 0. Par exemple, si on a \(2 \times 0\), cela veut dire qu’on répète le nombre 2 zéro fois, donc on ne le répète jamais. Le produit est donc nul.
    • Tout nombre multiplié par 1 est égal à ce nombre lui-même. Par exemple, \(5 \times 1 = 5\) car 5 se répète une seule fois.
    • Cette table de multiplication, sans le nombre 0, est appelé table de Pythagore.

Voyons maintenant comment à partir de notre connaissance de la multiplication des nombres simples, on arrive à réaliser la multiplication des grands nombres.

Multiplication de deux grands nombres

On distinguera les cas suivants :

  1. Le multiplicateur est un nombre simple, c’est-à-dire qu’il n’a qu’un seul chiffre.
  2. Le multiplicateur est un nombre composé de 1 suivi de un ou plusieurs zéros, c’est-à-dire 10, 100, 1000, 10000, 100000, etc.
  3. Le multiplicateur est un nombre composé d’un chiffre autre que 1 suivi d’un ou plusieurs zéro, c’est-à-dire 50, 200, 3000, 80000, 700000, etc.
  4. Le multiplicateur est un nombre quelconque composé de deux ou plusieurs chiffres.

Dans tous ces cas, on pose l’opération comme on le faisait pour l’addition et la soustraction, en mettant le multiplicateur sous le multiplicande. Par exemple, si on veut faire \(1258 \times 31\), on pose l’opération comme suit :

\(
\begin{array}{cccccc}
\hline
& 1 & 2 & 5 & 8 & \text{multiplicande} \\
\times & & & & & \\
& & & 3 & 1 & \text{multiplicateur}\\ \hline
= & & & & & \text{produit}\\ \hline
\end{array}
\)

Multiplication d’un nombre quelconque par un chiffre : Algorithme

  1. On multiplie chaque chiffre du multiplicande par le multiplicateur, en commençant par le chiffre des unités, ensuite celui des dizaines, ensuite celui des centaines, etc.
  2. Si le résultat de chaque multiplication ne contient qu’un chiffre, on le met immédiatement en bas dans la même colonne que le chiffre du multiplicande.
  3. Sinon si le résultat est un nombre à deux chiffres, et que nous sommes à la dernière multiplication, on met le nombre directement en bas comme résultat de la multiplication. Sinon, on met le chiffre des unités en bas, comme résultat de la multiplication et on garde le chiffre des dizaines comme retenue pour l’ajouter au produit suivant.

Appliquons l’algorithme à deux exemples. Soit à multiplier 524 par 3. On pose l’opération :

\(
\begin{array}{ccccc}
\hline
& & & 1 & \\ \hline
& & 5 & 2 & 4 \\
\times & & & & \\
& & & & 3 \\ \hline
= & 1 & 5 & 7 & 2\\ \hline
\end{array}
\)

3 fois 4 font 12, puisque ce n’est pas la dernière multiplication, on met 2 en bas comme résultat de la multiplication et on retient 1.
3 fois 2 font 6, plus 1 de retenue font 7, on met le résultat en bas.
3 fois 5 font 15, puisque c’est la dernière multiplication, on met les 15 en bas.
Le produit recherché est alors 1572.

Soit maintenant à multiplier 78953 par 8. Posons comme l’opération comme suit :

\(
\begin{array}{ccccccc}
\hline
& & 7 & 7 & 4 & 2 & \\ \hline
& & 7 & 8 & 9 & 5 & 3 \\
\times & & & & & & \\
& & & & & & 8 \\ \hline
= & 6 & 3 & 1 & 6 & 2 & 4\\ \hline
\end{array}
\)

8 fois 3 font 24, on met 4 en bas et on retient 2.
8 fois 5 font 40, plus 2 de retenue font 42. On met 2 en bas et on retient 4.
8 fois 9 font 72, plus 4 de retenue font 76. On met 6 en bas et on retient 7.
8 fois 8 font 64, plus 7 de retenue font 71. On met 1 en bas et on retient 7.
8 fois 7 font 56, plus 7 de retenue font 63. On met les 63 en bas puisque la multiplication est terminée.
Le produit recherché est alors 631624.

Multiplication d’un nombre quelconque par un nombre composé de 1 suivi de un ou plusieurs zéros

Lorsqu’on doit multiplier un nombre quelconque par 10, 100, 1000, etc., le produit est tout simplement composé de ce nombre suivi des zéros qui composent le multiplicateur. Par exemple \(1528 \times 1000 = 1528000\), \(753 \times 10 = 7530\) et \(102 \times 10000 = 1020000\). Il faut noter qu’à chaque ajout d’un zéro à droite d’un nombre, ce nombre devient 10 fois plus grand.

Multiplication d’un nombre quelconque par un nombre composé d’un chiffre autre que 1 suivi d’un ou plusieurs zéros

Au cas où le multiplicateur est composé d’un chiffre autre que 1 suivi d’un ou plusieurs zéros, on multiplie le multiplicande par ce chiffre comme on l’a vu dans le premier cas, et on place les zéros du multiplicateur à droite du résultat obtenu. Par exemple, si on veut multiplier 1528 par 300, on fait d’abord \(1528 \times 3\). Ce qui donne 4584 et on place les deux zéros de 300 à droite de 4584. Le produit recherché est donc 458400.

Multiplication d’un nombre quelconque par un nombre à plusieurs chiffres : Algorithme

Ce que nous avons vu dans les cas précédents (1, 2 et 3) suffit pour multiplier deux nombres quelconques. Avant d’exposer l’algorithme pour réaliser cela, commençons par un exemple.

Soit à multiplier 8523 par 751. Rappelez-vous que dans 751, 1 est le chiffres des unités, 5 est le chiffre des dizaines et 7 est le chiffre des centaines. Ce qui veut dire que 751 est la somme de 1, 50 et 700, arithmétiquement \(751 = 700 + 50 + 1\). Puisque 751 est composé de 700, 50 et 1, pour multiplier 8523 par 751, il nous suffit de multiplier 8523 par 700, ensuite le multiplier par 50 et enfin le multiplier par 1, et faire l’addition de ces trois produits. Le résultat est le produit recherché au début.

  • Grâce au cas 2, on sait comment multiplier 8523 par 700. On fait \(8523 \times 7 = 59661\) et on place les deux zéros de 700 à droite de ce résultat. On obtient donc 5966100.
  • Grâce encore au cas 2, on peut faire \(8523 \times 50\). On fait \(8523 \times 5 = 42615\) et on place le seul zéro de 50 à droite de ce résultat. On obtient donc 426150.
  • Grâce au cas 1, on peut faire \(8523 \times 1\). Mais, grâce à la remarque 2 concernant la table de multiplication, on sait que tout nombre multiplié par 1 donc comme résultat ce nombre lui-même. Alors, \(8523 \times 1 = 8523\).
  • On fait maintenant l’addition des trois produits obtenus précédemment, soit \(5966100 + 426150 + 8523\). Le produit recherché est donc la somme de ces trois nombres, soit 6400773.

Posons cette opération comme à l’accoutumée pour y voir plus clair :

\(
\begin{array}{ccccccccl}
\hline
& & & & 8 & 5 & 2 & 3 & \text{multiplicande} \\
\times & & & & & & & & \\
& & & & & 7 & 5 & 1 & \text{multiplicateur}\\ \hline
& & & & 8 & 5 & 2 & 3 & \text{produit de 8523 par 1}\\
+ & & & & & & & & \\
& & 4 & 2 & 6 & 1 & 5 & \mathbf{0} & \text{produit de 8523 par 50}\\
+ & & & & & & & & \\
& 5 & 9 & 6 & 6 & 1 & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \text{produit de 8523 par 700}\\ \hline
= & 6 & 4 & 0 & 0 & 7 & 7 & 3 & \text{produit total de 8523 par 751}\\ \hline
\end{array}
\)

Dans l’opération précédente, convenez avec moi que les zéros — que j’ai mis en gras (noir foncé) — n’ont aucune influence sur l’addition des trois produits intermédiaires. C’est pourquoi vous verrez en général qu’on ne les écrit pas lorsqu’on pose l’opération. Ce que nous allons faire dans l’exemple suivant comme illustration. On se propose de multiplier 7532 par 9048. On procède comme suit :

  • On multiplie le multiplicande 7532 par le chiffre des unités du multiplicateur 9048, c’est-à-dire par 8. On a donc \(7532 \times 8 = 60256\). On écrit ce produit juste en bas du multiplicateur de sorte que le chiffre des unités de 60256, c’est-à-dire 6, soit dans la même colonne que le chiffre des unités de 9048, c’est-à-dire 8.
  • On multiplie maintenant 7532 par les dizaines de 9048, c’est-à-dire par 40. On a donc \(7532 \times 40 = 301280\). On écrit ce produit juste en bas du premier produit obtenu, de sorte que le chiffre des dizaines de 301280, c’est-à-dire 8, soit dans la même colonne que le chiffre des dizaines de 9048, c’est-à-dire 4.
  • On multiplie maintenant 7532 par les centaines de 9048, c’est-à-dire par 0. Puisque le produit de 0 par tout nombre est nul (voir remarque 1) et que 0 n’influence pas l’addition, alors on n’a pas besoin d’écrire ce résultat. On passe au produit suivant.
  • On multiplie enfin 7532 par les milliers de 9048, c’est-à-dire par 9000. On a donc \(7532 \times 9000 = 67788000\). On écrit ce produit juste en bas du deuxième produit obtenu, de sorte que le chiffre des milliers de 67788000, c’est-à-dire 8, soit dans la même colonne que le chiffre des milliers de 9048, c’est-à-dire 9.
  • On fait maintenant l’addition des trois produits intermédiaires, soit \(60256+ 301280+ 67788000\). Le produit recherché est donc la somme de ces trois nombres, soit 68149536.

On pose l’opération comme suit :

\(
\begin{array}{cccccccccl}
\hline
& & & & & 7 & 5 & 3 & 2 & \text{multiplicande} \\
\times & & & & & & & & & \\
& & & & & 9 & 0 & 4 & 8 & \text{multiplicateur}\\ \hline
& & & & 6 & 0 & 2 & 5 & 6 & \text{produit de 7532 par 8}\\
+ & & & & & & & & & \\
& & & 3 & 0 & 1 & 2 & 8 & & \text{produit de 7532 par 40}\\
+ & & & & & & & & & \\
& 6 & 7 & 7 & 8 & 8 & & & & \text{produit de 7532 par 9000}\\ \hline
= & 6 & 8 & 1 & 4 & 9 & 5 & 3 & 6 & \text{produit total de 7532 par 9048}\\ \hline
\end{array}
\)

Voici donc l’algorithme pour multiplier deux nombres quelconques :

  1. On multiplie tous les chiffres du multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur, en commençant par le chiffre des unités, ensuite celui des dizaines, ensuite celui des centaines, etc. Ce qui nous donne autant de produits intermédiaires que le multiplicateur a de chiffres différents de 0.
  2. On met un zéro à droite du produit du multiplicateur par le chiffre des dizaines du multiplicateur, deux zéros à droite du produit du multiplicateur par le chiffre des centaines du multiplicateur, trois zéros à droite du produit du multiplicateur par le chiffre des milliers du multiplicateur, et ainsi de suite.
  3. On écrit les produits intermédiaires les uns sous les autres de sorte que les chiffres soient alignés selon leur octave, c’est-à-dire les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, et ainsi de suite.
  4. On additionne les produits partiels. La somme est le produit recherché.

Quelques remarques importantes

D’après tout ce que nous avons vu, faire 3 fois 5 correspond à additionner 3 par lui-même 5 fois, soit \(3 + 3 + 3 + 3 + 3\), ce qui donne 15. Dans ce cas 3 est le multiplicande et 5 est le multiplicateur. Qu’en est-il de 5 fois 3 ? De la même manière, on a \(5 + 5 + 5\), ce qui donne également 15. Dans ce second cas, 5 est le multiplicande et 3 est le multiplicateur. Vous pouvez vérifier ce résultat en utilisant la table de Pythagore. De même 7 fois 3 font 21 et 3 fois 7 font également 21. On est forcé de dire que lorsqu’on veut multiplier deux nombres, peu importe celui qu’on choisit comme multiplicande et multiplicateur, on obtient le même résultat. Ceci est une conjecture. On doit la démontrer pour l’accepter comme règle générale. On y arrive très simplement en se rappelant que tout nombre n’est composé que d’unités. Par exemple, \(5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1\) et \(3 = 1 + 1 + 1\). Alors, on peut représenter 5 fois 3 par la figure ci-dessous :

Table de 5 fois 3

De même 3 fois 5 peut être schématisé comme suit :

Table de 3 fois 5

On voit aisément que si nous tournons la première figure (en fond bleu clair) et que nous la superposons sur la deuxième figure (en fond rouge clair), les deux figures se confondraient car nous avons exactement le même nombre de cases (ou le même nombre d’unités) dans chaque tableau. Ceci démontre graphiquement pourquoi 5 fois 3 et 3 fois 5 donnent le même produit 15.

Puisque la position du multiplicateur et du multiplicande importe peu dans la multiplication, on peut leur donner un nom commun au lieu de les appeler différemment. Ce nom est facteur. On dit donc que 5 et 3 sont les facteurs de 15.

La division

Revenons à notre ami le berger et considérons le scénario suivant. Il possède 45 brebis qu’il voudrait mettre par lots de 9 dans plusieurs enclos. Il se demande donc : “Combien d’enclos me faut-il ?” Il se rend vite compte que ses connaissances en arithmétique ne lui permettent pas de trouver la réponse immédiatement, mais lui permettent de résoudre le problème en plusieurs étapes. Alors, il procède comme suit :

  • Je retire 9 brebis du lot de 45 et je les mets ensemble à côté. J’ai donc un premier lot qui correspond à un premier enclos. Et il me reste \(45 – 9 = 36\) brebis.
  • Je retire encore 9 brebis que je mets à côté. J’ai donc un deuxième lot qui correspond à un deuxième enclos. Et il me reste \(36 – 9 = 27\) brebis.
  • Je retire encore 9 brebis que je mets à côté. J’ai donc un troisième lot qui correspond à un troisième enclos. Et il me reste \(27 – 9 = 18\) brebis.
  • Je retire encore 9 brebis que je mets à côté. J’ai donc un quatrième lot qui correspond à un quatrième enclos. Et il me reste \(18 – 9 = 9\) brebis.
  • Je retire encore 9 brebis que je mets à côté. J’ai donc un cinquième lot qui correspond à un cinquième enclos. Et il me reste \(9 – 9 = 0\) brebis. Il ne me reste plus de brebis, alors il me faut exactement 5 enclos.

Le berger vient donc de répondre à sa question en faisant des soustractions successives. Cette méthode, quoiqu’ingénieuse, est très lente. Le berger s’en rend compte et décide de trouver une méthode plus rapide, c’est-à-dire l’opération grâce à laquelle il pourrait générer 5 en utilisant 45 et 9. C’est donc l’opération qui permet de trouver la réponse à la question : “Combien de fois y a-t-il 9 dans 45 ?

Cette opération est appelée division. Elle est l’inverse de la multiplication tout comme la soustraction est l’inverse de l’addition. Elle provient de la nécessité de connaître un des facteurs d’un nombre donné en connaissant l’autre facteur, tandis que la multiplication consiste à générer un nombre en connaissant ses facteurs. Si le nombre apparaît dans la table de Pythagore, alors il est facile de trouver le deuxième facteur à partir du premier. Par exemple, si on veut trouver combien de fois il y a 9 dans 45, on cherche 45 dans la ligne de 9 (ou la colonne de 9). Dès qu’on trouve 45, on cherche l’autre facteur dans la ligne (ou la colonne) correspondante. On trouve 5, alors il y 5 fois 9 dans 45.

Si le nombre n’apparaît pas dans la table de Pythagore, on procède soit par soustractions successives comme notre berger soit par un procédé plus approprié. C’est ce que nous verrons dans la suite. Laissons place d’abord à un peu de vocabulaire. On appelle dividende le nombre dont on recherche, donc 45 est le dividende dans l’exemple du berger. Le facteur connu est appelé diviseur, donc 9 est le diviseur dans l’exemple du berger. Le facteur recherché est appelé quotient, donc 5 est le quotient de la division de 45 et 9.

N.B. :
– Il y a un cas particulier où le dividende n’apparaît pas dans la table de Pythagore. Cela peut être parce que le diviseur n’est pas un facteur du dividende. Par exemple, 7 n’étant pas un facteur de 45, on ne pourrait pas trouver l’autre facteur si on nous demandait de trouver le quotient de 45 par 7.
– On se limite pour l’instant aux divisions où le dividende est supérieur au diviseur.

Algorithme : Division d’un nombre quelconque par un nombre simple

Soit à diviser 7564 par 2. On pose l’opération comme suit :

\(
\begin{array}{rc|cl}
\text{dividende} & 7~5~6~4 & 2 & \text{diviseur} \\
& 6~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0} & \overline{3~7~8~2} & \text{quotient} \\
& \overline{1}~\mathbf{5}~\phantom{0}~\phantom{0} & & \\
& 1~4~\phantom{0}~\phantom{0} & & \\
& \overline{\phantom{0}~1}~\mathbf{6}~\phantom{0} & & \\
& \phantom{0}~1~6~\phantom{0} & & \\
& \phantom{0}~\overline{\phantom{0}~0}~\mathbf{4} & & \\
& \phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~4 & & \\
& \phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\overline{0} & & \\
\end{array}
\)

  • On choisit le chiffre de plus grande importance du dividende 7564, c’est-à-dire le chiffre des milliers 7. Puisqu’il est plus grand que le diviseur 2, on peut retrancher 2 un certain nombre de fois. En s’aidant de la table de Pythagore, on voit que \(2 \times 3 = 6\) et \(2 \times 4 = 8\). On voit bien qu’on ne peut au plus enlever que 3 fois le nombre 2 dans 7, car le produit \(2 \times 4\) est plus grand que 7. On met donc 3 dans la zone du quotient et on met les 6 (produit de 2 et 3) juste en bas du 7 du dividende.
  • On retranche 6 de 7 et on obtient 1. Puisque 1 est plus petit que le diviseur 2, on ne peut pas retrancher 2 dans 1. On fait donc descendre le prochain chiffre de plus importance du dividende 7564, c’est-à-dire le chiffre des centaines 5, à côté de 1. Ce qui nous donne maintenant 15, qui est maintenant un dividende partiel.
  • En s’aidant de la table de Pythagore, on voit que \(2 \times 7= 14\) et \(2 \times 8 = 16\). On voit bien qu’on ne peut au plus enlever que 7 fois le nombre 2 dans 15, car le produit \(2 \times 8\) est plus grand que 15. On met donc 7 dans la zone du quotient, à droite du premier chiffre, et on met les 14 (produit de 2 et 7) juste en bas du dividende partiel 15.
  • On retranche 14 de 15 et on obtient 1. Puisque 1 est plus petit que le diviseur 2, on ne peut pas retrancher 2 dans 1. On fait donc descendre le prochain chiffre de plus importance du dividende 7564, c’est-à-dire le chiffre des dizaines 6, à côté de 1. Ce qui nous donne maintenant 16, qui est le nouveau dividende partiel.
  • En s’aidant de la table de Pythagore, on voit que \(2 \times 8 = 16\). On met donc 8 dans la zone du quotient, à droite du deuxième chiffre, et on met les 16 (produit de 2 et 8) juste en bas du dividende partiel 16.
  • On retranche 16 de 16 et on obtient 0. Puisque 0 est plus petit que le diviseur 2, on ne peut pas retrancher 2 dans 0. On fait donc descendre le prochain chiffre de plus importance du dividende 7564, c’est-à-dire le chiffre des unités 4, à côté de 0. Ce qui nous donne maintenant 4, qui est le nouveau dividende partiel.
  • En s’aidant de la table de Pythagore, on voit que \(2 \times 2 = 4\). On met donc 2 dans la zone du quotient, à droite du troisième chiffre, et on met les 4 (produit de 2 et 2) juste en bas du dividende partiel 4.
  • On retranche 4 de 4 et on obtient 0. Puisque 0 est plus petit que le diviseur 2, on ne peut pas retrancher 2 dans 0. On fait donc descendre le prochain chiffre de plus importance du dividende 7564. Oups ! il n’y a plus de chiffres, donc on s’arrête là. Et le quotient recherché est 3782.

L’algorithme pour diviser tout nombre par un nombre simple est le suivant :

  1. On pose l’opération de division : on écrit le diviseur à droite du dividende sur la même ligne et on les sépare par un trait vertical ; on trace un trait au-dessous du diviseur, on écrira le quotient juste en bas de ce trait.
  2. On cherche combien de fois le premier chiffre de plus grande importance du dividende contient le diviseur ; si ce chiffre est plus petit que le diviseur, on cherche combien de fois les deux premiers chiffres de plus grande importance du dividende contiennent le diviseur. Une fois ce facteur trouvé, il devient un quotient partiel et on l’écrit dans la zone du quotient.
  3. On retranche, de la partie sélectionnée du dividende, le produit du facteur, trouvé précédemment, et du diviseur.
  4. On fait descendre, à côté du reste de la soustraction précédente, le chiffre suivant du dividende. On obtient ainsi un nouveau dividende partiel sur lequel on procède comme au point n°2.
  5. On écrit le nouveau quotient partiel obtenu à droite du précédent et on retranche du précédent dividende partiel, le produit de ce quotient et du diviseur.
  6. On fait descendre, à côté du reste de la soustraction précédente, le chiffre suivant du dividende. On obtient ainsi un nouveau dividende partiel sur lequel on procède comme au point n°2.
  7. On continue ainsi jusqu’à ce qu’on ait épuisé tous les chiffres du dividende global.

Appliquons l’algorithme à la division de 20807 par 6. On pose l’opération comme suit :

\(
\begin{array}{rc|cl}
\text{dividende} & 2~0~8~0~7 & 6 & \text{diviseur} \\
& 1~8~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0} & \overline{3~4~6~7} & \text{quotient} \\
& \overline{\phantom{0}~2}~\mathbf{8}~\phantom{0}~\phantom{0} & & \\
& \phantom{0}~2~4~\phantom{0}~\phantom{0} & & \\
& \phantom{0}~\phantom{0}\overline{~4}~\mathbf{0}~\phantom{0} & & \\
& \phantom{0}~\phantom{0}~3~6~\phantom{0} & & \\
& \phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}\overline{~4}~\mathbf{7} & & \\
& \phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~4~2 & & \\
\text{reste}& \phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\overline{\phantom{0}~5} & & \\
\end{array}
\)

  • Puisque le premier chiffre de plus grande importance du dividende global, c’est-à-dire 2, est plus petit que le diviseur 6, on choisit 20 comme dividende partiel.
  • On se pose la question : combien de fois y a-t-il 6 dans 20 ? La table de Pythagore nous révèle qu’il y en a au plus 3 (\(6 \times 3 = 18\)). On met le quotient partiel 3 dans la zone réservé au quotient.
  • On retranche le produit 18 (\(6 \times 3\)) du dividende partiel 20. Le reste de cette soustraction est 2.
  • On fait descendre le prochain chiffre du dividende global, c’est-à-dire 8, à droite de 2. 28 est alors le nouveau dividende partiel.
  • On se pose la question : combien de fois y a-t-il 6 dans 28 ? La table de Pythagore nous révèle qu’il y en a au plus 4 (\(6 \times 4 = 24\)). On met le quotient partiel 4 dans la zone réservé au quotient, à droite de l’ancien quotient partiel 3. Le nouveau quotient partiel est 34.
  • On retranche le produit 24 (\(6 \times 4\)) du dividende partiel 28. Le reste de cette soustraction est 4.
  • On fait descendre le prochain chiffre du dividende global, c’est-à-dire 0, à droite de 4. 40 est alors le nouveau dividende partiel.
  • On se pose la question : combien de fois y a-t-il 6 dans 40 ? La table de Pythagore nous révèle qu’il y en a au plus 6 (\(6 \times 6 = 36\)). On met le quotient partiel 6 dans la zone réservé au quotient, à droite de l’ancien quotient partiel 34. Le nouveau quotient partiel est 346.
  • On retranche le produit 36 (\(6 \times 6\)) du dividende partiel 40. Le reste de cette soustraction est 4.
  • On fait descendre le prochain chiffre du dividende global, c’est-à-dire 7, à droite de 4. 47 est donc le nouveau dividende partiel.
  • On se pose la question : combien de fois y a-t-il 6 dans 47 ? La table de Pythagore nous révèle qu’il y en a au plus 7 (\(6 \times 7 = 42\)). On met le quotient partiel 7 dans la zone réservé au quotient, à droite de l’ancien quotient partiel 346. Le nouveau quotient partiel est 3467.
  • On retranche le produit 42 (\(6 \times 7\)) du dividende partiel 47. Le reste de cette soustraction est 5.
  • On constate qu’on a épuisé tous les chiffres du dividende global. Alors le précédent quotient partiel 3467 est le quotient global recherché.

Il faut remarquer que dans ce cas, le reste n’est pas 0, mais 5. Ça veut dire que 20807 est le produit de 6 et 3467 plus le reste 5. On écrit arithmétiquement : \(20807 = 3467 \times 6 + 5\). Ça veut également dire que ni 6 ni 3467 ne sont des facteurs exacts de 20807.

Division d’un nombre quelconque par un nombre à plusieurs chiffres

Proposons-nous de diviser 1255 par 36. Appliquons l’algorithme précédent :

  • 1255 est le dividende global et 36 est le diviseur. On voit bien que ni le premier chiffre le plus important de 1255, c’est-à-dire 1, ni les deux premiers chiffres, c’est-à-dire 12, ne peuvent être divisés par 36 par ils sont plus petits que 36. On n’a donc pas d’autre choix que de prendre plus de chiffres et on voit que les trois premiers chiffres, c’est-à-dire 125, sont suffisants. 125 est alors notre dividende partiel.
  • On se pose maintenant la question : combien de fois y a-t-il 36 dans 125 ? La table de Pythagore ne nous est pas directement utile car elle ne contient pas de colonne ou de ligne pour 36. On pourrait à la main essayer de multiplier 36 par 2, ensuite par 3, et ainsi de suite jusqu’à trouver la réponse. Mais, ce serait long. Alors, plutôt que de considérer le diviseur en entier, on va juste prendre son chiffre de plus grande importance, c’est-à-dire 3, et considérer, pendant quelques secondes, que 3 est notre nouveau diviseur. En le faisant, on est obligé de revoir le précédent dividende partiel. Au lieu de 125, 12 suffirait car il est plus grand que 3.
    On se demande maintenant : combien de fois y a-t-il 3 dans 12 ? La table de Pythagore nous révèle qu’il y en a exactement 4 (\(3 \times 4 = 12\)). On pourrait directement croire que 4 est le quotient que nous recherchons. J’avoue que ça aurait été vraiment beau mais avouez que ce serait également trop facile. En fait, rappelez-vous que lorsqu’on multiplie 36 par 4, le chiffre des dizaines de la multiplication de 6 par 4 (s’il y en a) s’ajoute comme retenue au produit de 4 et 3. Ici, puisque \(6 \times 4 = 24\), on retient donc 2 et on ajoute les 2 au 12 (\(3 \times 4\)). On se rend compte qu’on trouve 14 qui est finalement supérieur à 12. 4 ne peut donc pas être le quotient partiel recherché. Ça veut dire que ce quotient est plus petit que 4 d’une seule unité, donc c’est 3 (\(3 = 4 – 1\)).
    On peut vérifier en calculant le produit de 36 par 3, on trouve \(36 \times 3 = 108\) qui est plus petit que 125.
    Cela répond à notre première question, c’est-à-dire que dans 125, il y a au plus 3 fois 36 (\(36 \times 3 = 108\)). En essayant 4, on a vu que \(36 \times 4 = 144\) qui est plus grand que 125.
    3 est donc notre premier quotient partiel, on le pose donc dans la zone du quotient.
  • On retranche le produit 108 (\(36 \times 8\)) du dividende partiel 125. Le reste de cette soustraction est 17.
  • Puisque 17 est plus petit que 36, on fait descendre le prochain chiffre du dividende global, c’est-à-dire 5, à droite de 17. 175 est donc le nouveau dividende partiel.
  • On se pose la question : combien de fois y a-t-il 36 dans 175 ? Et comme nous l’avons vu précédemment, cela nous amène à la question : combien de fois y a-t-il 3 dans 17 ? Et on voit qu’il y en a au plus 5 (\(3 \times 5 = 15\)). Mais, on doit considérer le chiffre des dizaines de la multiplication de 5 et 6. On a \(6 \times 5 = 30\), on retient donc 3 qu’on ajoute à 15. On obtient 18, qui est plus grand que 17. Alors, 5 ne peut pas être le quotient partiel recherché, c’est donc 4. On vérifie en faisant \(36 \times 4 = 144\), qui est plus petit que 175. Il y a donc au plus 4 fois 36 dans 175. 4 est le second quotient partiel, on le pose donc dans la zone du quotient à droite du premier quotient partiel.
  • On retranche le produit 144 (\(36 \times 4\)) du dividende partiel 175. Le reste de cette soustraction est 31.
  • On constate qu’on a épuisé tous les chiffres du dividende global. Alors le précédent quotient partiel 34 est le quotient global recherché. Mais, ce n’est pas un quotient exact car le reste de la division n’est pas nul, c’est 31.

On poserait l’opération comme suit :

\(
\begin{array}{rc|cl}
\text{dividende} & 1~2~5~5 & 3~6 & \text{diviseur} \\
& 1~0~8~\phantom{0} & \overline{3~4} & \text{quotient} \\
& \overline{\phantom{0}~1~7}~\mathbf{5} & & \\
& \phantom{0}~1~4~4 & & \\
\text{reste} & \phantom{0}~\overline{\phantom{0}~3~1} & & \\
\end{array}
\)

Soit maintenant à diviser 566089 par 835. Procédons comme dans l’exemple précédent :

  • 566089 est le dividende global et 835 est le diviseur. On voit bien qu’on ne peut choisir le premier dividende partiel qu’à des quatre premiers chiffres les plus importants du dividende global. 5660 est alors notre dividende partiel.
  • On se pose maintenant la question : combien de fois y a-t-il 835 dans 5660 ? On ne peut pas directement se servir de la table de Pythagore car elle ne contient pas de colonne ou de ligne pour 835. On pourrait à la main essayer de multiplier 835 par 2, ensuite par 3, et ainsi de suite jusqu’à trouver la réponse. Mais, ce serait long. Alors, plutôt que de considérer le diviseur en entier, on va juste prendre son chiffre de plus grande importance, c’est-à-dire 8, et considérer, pendant quelques secondes, que 8 est notre nouveau diviseur. En le faisant, on est obligé de revoir le précédent dividende partiel. Au lieu de 5660, 56 suffirait car il est plus grand que 8.
    On se demande maintenant : combien de fois y a-t-il 8 dans 56 ? La table de Pythagore nous révèle qu’il y en a exactement 7 (\(8 \times 7 = 56\)). À ce stade, on se rappelle que lorsqu’on multiplie 835 par 7, il y a des retenues qui proviennent des produits de 7 par 5 et de 7 par 3. On a \(7 \times 5 = 35\), alors on retient 3 qu’on ajoute à \(7 \times 3 = 21\), ce qui fait 24. On retient encore 2 qu’on ajoute à 56 (\(8 \times 7\)), ce qui fait 58 qui est plus grand que 56. Alors, 7 ne peut donc pas être le quotient partiel recherché. Ça veut dire que ce quotient est plus petit que 7 d’une seule unité, donc c’est 6 (\(6 = 7 – 1\)).
    On peut vérifier en calculant le produit de 835 par 6, on trouve \(835 \times 6 = 5010\) qui est plus petit que 5660.
    Cela répond à notre première question, c’est-à-dire que dans 5660, il y a au plus 6 fois 835. En essayant 7, on a vu que \(835 \times 7 = 5845\) qui est plus grand que 5660.
    6 est donc notre premier quotient partiel, on le pose donc dans la zone du quotient.
  • On retranche le produit 5010 (\(835 \times 6\)) du dividende partiel 5660. Le reste de cette soustraction est 650.
  • Puisque 650 est plus petit que 835, on fait descendre le prochain chiffre du dividende global, c’est-à-dire 8, à droite de 650. 6508 est donc le nouveau dividende partiel.
  • On se pose la question : combien de fois y a-t-il 835 dans 6508 ? Et comme nous l’avons vu précédemment, cela nous amène à la question : combien de fois y a-t-il 8 dans 65 ? Et on voit qu’il y en a au plus 8 (\(8 \times 8 = 64\)). Mais, on doit considérer les retenues provenant des produits de 8 par 5 et de 8 par 3. On a \(8 \times 5 = 45\), alors on retient 4 qu’on ajoute à \(8 \times 3 = 24\), ce qui fait 27. On retient encore 2 qu’on ajoute à 64 (\(8 \times 8\)), ce qui fait 66 qui est plus grand que 65. Alors, 8 ne peut donc pas être le quotient partiel recherché. Ça veut dire que ce quotient est plus petit que 8 d’une seule unité, donc c’est 7 (\(7 = 8 – 1\)). On peut vérifier en calculant le produit de 835 par 7, on trouve \(835 \times 7 = 5845\) qui est plus petit que 5660.
    Il y a donc au plus 7 fois 835 dans 6508. 7 est le deuxième quotient partiel, on le pose donc dans la zone du quotient à droite du premier quotient partiel.
  • On retranche le produit 5845 (\(835 \times 7\)) du dividende partiel 6508. Le reste de cette soustraction est 663.
  • On fait descendre le prochain chiffre du dividende global, c’est-à-dire 9, à droite de 663. 6639 est donc le nouveau dividende partiel.
  • On se pose la question : combien de fois y a-t-il 835 dans 6639 ? Cela nous amène à la question : combien de fois y a-t-il 8 dans 66 ? Et on voit qu’il y en a au plus 8 (\(8 \times 8 = 64\)). Mais, on doit considérer les retenues provenant des produits de 8 par 5 et de 8 par 3. On a \(8 \times 5 = 40\), alors on retient 4 qu’on ajoute à \(8 \times 3 = 24\), ce qui fait 28. On retient encore 2 qu’on ajoute à 64 (\(8 \times 8\)), ce qui fait 66 qui est plus égal au dividende 66. Ah ha ! On voit que cette fois, on ne peut pas conclure sur la base des deux premiers chiffres du dividende partiel 6639. Le plus simple, c’est de faire la multiplication complète de 835 par 8 et de comparer le résultat à 6639. On a \(835 \times 8 = 6680\) et on voit que c’est plus grand que 6639. Ça veut dire que le quotient partiel recherché est plus petit que 8 d’une seule unité, donc c’est 7 (\(7 = 8 – 1\)). On peut vérifier en calculant le produit de 835 par 7, on trouve \(835 \times 7 = 5845\) qui est plus petit que 6639.
    Il y a donc au plus 7 fois 835 dans 6639. 7 est le troisième quotient partiel, on le pose donc dans la zone du quotient à droite du deuxième quotient partiel.
  • On retranche le produit 5845 (\(835 \times 7\)) du dividende partiel 6639. Le reste de cette soustraction est 794.
  • On constate qu’on a épuisé tous les chiffres du dividende global. Alors le quotient recherché est 677. Mais, ce n’est pas un quotient exact car le reste de la division n’est pas nul, c’est 794.

On poserait l’opération comme suit :

\(
\begin{array}{rc|cl}
\text{dividende} & 5~6~6~0~8~9 & 8~3~5 & \text{diviseur} \\
& 5~0~1~0~\phantom{0}~\phantom{0} & \overline{6~7~7} & \text{quotient} \\
& \overline{\phantom{0}~6~5~0}~\mathbf{8}~\phantom{0} & & \\
& \phantom{0}~5~8~4~5~\phantom{0} & & \\
& \phantom{0}~\overline{\phantom{0}~6~6~3}~\mathbf{9} &  & \\
& \phantom{0}~\phantom{0}~5~8~4~5 & & \\
\text{reste} & \phantom{0}~\phantom{0}~\overline{\phantom{0}~7~9~4} & & \\
\end{array}
\)

On déduit donc l’algorithme suivant :

  1. On pose l’opération de division
  2. En partant des chiffres les plus importants du dividende, on prend autant de chiffres qu’il est nécessaire pour contenir le diviseur. Le nombre ainsi obtenu est un dividende partiel. Il doit être plus grand que le diviseur.
  3. On se pose la question : combien de fois y a-t-il le diviseur dans le dividende partiel ? En général, c’est un peu difficile de directement répondre à cette question car le diviseur n’apparaît pas dans la table de Pythagore. On réduit donc le diviseur à son premier chiffre le plus important, ce faisant on prend également autant de chiffres du dividende partiel nécessaires pour contenir ce chiffre. Et la première question se réduit à la question à la suivante : combien de fois y a-t-il le premier chiffre le plus important du diviseur dans le le nombre extrait du dividende partiel ? On calcule le quotient partiel et on vérifie que le produit de ce quotient par le diviseur est plus petit que le dividende partiel. Si c’est le cas, alors on retient ce quotient partiel. Sinon, on le réduit d’une unité et le résultat de cette soustraction est le quotient partiel. On le place donc dans la zone du quotient. Chaque nouveau quotient partiel sera placé à droite du précédent.
  4. On multiplie le quotient partiel, trouvé précédemment, par le diviseur et on met le produit obtenu en bas du dividende partiel.
  5. On retranche du dividende partiel, le produit obtenu précédemment. Et on fait descendre à côté du reste de cette soustraction, le prochain chiffre du dividende global. On obtient alors un nouveau dividende partiel.
  6. Muni de ce nouveau dividende, on reprend la procédure à partir du point n°3 jusqu’à ce qu’on ait épuisé tous les chiffres du dividende global. Le quotient ainsi obtenu est celui recherché.

Il y a des cas particuliers à considérer :

  • À partir de l’étape n°5, on peut se retrouver dans un cas où après avoir descendu le prochain chiffre du dividende global, le dividende partiel ainsi obtenu soit plus petit que le diviseur. Du coup, en retournant à l’étape n°3, à la question : combien de fois y a-t-il le diviseur dans le dividende partiel ? On répondrait 0 puisque le dividende partiel ne contient pas le diviseur. 0 serait donc le nouveau quotient partiel.
  • Bien que la procédure de l’étape n°3 soit assez rapide pour des petites divisions, elle devient également moins aisé dans le cas des divisions où le dividende global est très long. Dans ce cas, il est préférable de construire, au préalable, la table de multiplication du diviseur par les nombres simples. Et en se servant de cette table, on effectuerait la division aisément.

Prenons l’exemple de la division de 10589 par 52 pour illustrer le premier cas particulier :

  • 10589 est le dividende global et 52 est le diviseur. On prend 105 comme premier dividende partiel.
  • On se pose maintenant la question : combien de fois y a-t-il 52 dans 105 ? On réduit cette question à la suivante : combien de fois y a-t-il 5 dans 10 ? La table de Pythagore nous révèle qu’il y en a exactement 2 (\(5 \times 2 = 10\)). Lorsqu’on multiplie 52 par 2, on obtient 104, qui est plus petit que 105. Alors, 2 est le premier quotient partiel, on le pose donc dans la zone du quotient.
  • On retranche le produit 104 (\(52 \times 2\)) du dividende partiel 105. Le reste de cette soustraction est 1.
  • On fait descendre le prochain chiffre du dividende global, c’est-à-dire 8, à droite de 1. 18 est donc le nouveau dividende partiel.
  • On se pose la question : combien de fois y a-t-il 52 dans 18 ? Il y en a aucun, donc 0.
    0 est donc le deuxième quotient partiel, on le pose donc dans la zone du quotient à droite du premier quotient partiel.
  • On retranche le produit 0 (\(52 \times 0\)) du dividende partiel 18. Le reste de cette soustraction est 18.
    Remarquez ici que ce produit est inutile, on ne le fera donc pas apparaître lorsqu’on posera l’opération.
  • On fait descendre le prochain chiffre du dividende global, c’est-à-dire 9, à droite de 18. 189 est donc le nouveau dividende partiel.
  • On se pose la question : combien de fois y a-t-il 52 dans 189 ? Cela nous amène à la question : combien de fois y a-t-il 5 dans 18 ? Et on voit qu’il y en a au plus 3 (\(5 \times 3 = 15\)). Mais, on doit considérer la retenue provenant du produit de 2 par 3. On a \(2 \times 3 = 6\), on a donc aucune retenue. On garde donc 3 comme troisième quotient partiel.
  • On retranche le produit 156 (\(52 \times 3\)) du dividende partiel 189. Le reste de cette soustraction est 33.
  • On constate qu’on a épuisé tous les chiffres du dividende global. Alors le quotient recherché est 203. Mais, ce n’est pas un quotient exact car le reste de la division n’est pas nul, c’est 33.

On poserait l’opération comme suit :

\(
\begin{array}{rc|cl}
\text{dividende} & 1~0~5~8~9 & 5~2 & \text{diviseur} \\
& 1~0~4~\phantom{0}~\phantom{0} & \overline{2~0~3} & \text{quotient} \\
& \overline{\phantom{0}~\phantom{0}~1}~\mathbf{8}~\mathbf{9} & & \\
& \phantom{0}~\phantom{0}~1~5~6 & & \\
\text{reste} & \phantom{0}~\phantom{0}~\overline{\phantom{0}~3~3} & & \\
\end{array}
\)

Prenons maintenant un exemple pour illustrer le second cas particulier. Soit à diviser 751523810566 par 2592.
Vu que le dividende global est vraiment long, construisons la table de multiplication de 2592 par les nombres simples. On a :

\(
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\mathbf{\times} & \mathbf{2592} \\ \hline
\mathbf{1} & 2592 \\ \hline
\mathbf{2} & 5184 \\ \hline
\mathbf{3} & 7776 \\ \hline
\mathbf{4} & 10368 \\ \hline
\mathbf{5} & 12960 \\ \hline
\mathbf{6} & 15552 \\ \hline
\mathbf{7} & 18144 \\ \hline
\mathbf{8} & 20736 \\ \hline
\mathbf{9} & 23328 \\ \hline
\end{array}
\)

Muni de cette table, raisonnons comme à l’accoutumée :

  • 75152381056 est le dividende global et 2592 est le diviseur. On prend 7515 comme premier dividende partiel.
  • On se pose maintenant la question : combien de fois y a-t-il 2592 dans 7515 ? Notre table précédente nous révèle qu’il y en a au plus 2 (\(2592 \times 2 = 5184\)). Alors, 2 est le premier quotient partiel, on le pose donc dans la zone du quotient.
  • On retranche le produit 5184 (\(2592 \times 2\)) du dividende partiel 7515. Le reste de cette soustraction est 2331.
  • On fait descendre le prochain chiffre du dividende global, c’est-à-dire 2, à droite de 2331. 23312 est donc le nouveau dividende partiel.
  • On se pose la question : combien de fois y a-t-il 2592 dans 23312 ? Notre table nous révèle qu’il y en a au plus 8. (\(2592 \times 8 = 20736\)). Alors, 8 est le deuxième quotient partiel, on le pose donc dans la zone du quotient à droite du premier quotient partiel.
  • On retranche le produit 20736 (\(2592 \times 8 = 20736\)) du dividende partiel 23312. Le reste de cette soustraction est 2576.
  • On fait descendre le prochain chiffre du dividende global, c’est-à-dire 3, à droite de 2576. 25763 est donc le nouveau dividende partiel.
  • On se pose la question : combien de fois y a-t-il 2592 dans 25763 ? Notre table nous révèle qu’il y en a au plus 9. (\(2592 \times 9 = 23328\)). Alors, 9 est le troisième quotient partiel, on le pose donc dans la zone du quotient à droite du deuxième quotient partiel.
  • On retranche le produit 23328 (\(2592 \times 9\)) du dividende partiel 25763. Le reste de cette soustraction est 2435.
  • On fait descendre le prochain chiffre du dividende global, c’est-à-dire 8, à droite de 2435. Et 24358 est donc le nouveau dividende partiel.
  • On se pose la question : combien de fois y a-t-il 2592 dans 24358 ? Notre table nous révèle qu’il y en a au plus 9. (\(2592 \times 9 = 23328\)). Alors, 9 est le quatrième quotient partiel, on le pose donc dans la zone du quotient à droite du troisième quotient partiel.
  • On retranche le produit 23328 (\(2592 \times 9\)) du dividende partiel 24358. Le reste de cette soustraction est 1030.
  • On fait descendre le prochain chiffre du dividende global, c’est-à-dire 1, à droite de 1030. 10301 est donc le nouveau dividende partiel.
  • On se pose la question : combien de fois y a-t-il 2592 dans 10301 ? Notre table nous révèle qu’il y en a au plus 3. (\(2592 \times 3 = 7776\)). Alors, 3 est le cinquième quotient partiel, on le pose donc dans la zone du quotient à droite du quatrième quotient partiel.
  • On retranche le produit 7776 (\(2592 \times 3\)) du dividende partiel 10301. Le reste de cette soustraction est 2525.
  • On fait descendre le prochain chiffre du dividende global, c’est-à-dire 0, à droite de 2525. Et 25250 est donc le nouveau dividende partiel.
  • On se pose la question : combien de fois y a-t-il 2592 dans 25250 ? Notre table nous révèle qu’il y en a au plus 9. (\(2592 \times 9 = 23328\)). Alors, 9 est le sixième quotient partiel, on le pose donc dans la zone du quotient à droite du cinquième quotient partiel.
  • On retranche le produit 23328 (\(2592 \times 9\)) du dividende partiel 25250. Le reste de cette soustraction est 1922.
  • On fait descendre le prochain chiffre du dividende global, c’est-à-dire 5, à droite de 1922. Et 19225 est donc le nouveau dividende partiel.
  • On se pose la question : combien de fois y a-t-il 2592 dans 19225 ? Notre table nous révèle qu’il y en a au plus 7. (\(2592 \times 7 = 18144\)). Alors, 7 est le septième quotient partiel, on le pose donc dans la zone du quotient à droite du sixième quotient partiel.
  • On retranche le produit 18144 (\(2592 \times 7\)) du dividende partiel 19225. Le reste de cette soustraction est 1081.
  • On fait descendre le prochain chiffre du dividende global, c’est-à-dire 6, à droite de 1081. Et 10816 est donc le nouveau dividende partiel.
  • On se pose la question : combien de fois y a-t-il 2592 dans 10816 ? Notre table nous révèle qu’il y en a au plus 4. (\(2592 \times 4 = 10368\)). Alors, 4 est le huitième quotient partiel, on le pose donc dans la zone du quotient à droite du septième quotient partiel.
  • On retranche le produit 10368 (\(2592 \times 4\)) du dividende partiel 10816. Le reste de cette soustraction est 448.
  • On constate qu’on a épuisé tous les chiffres du dividende global. Alors le quotient recherché est 28993974. Ce n’est évidemment pas un quotient exact car il y a un reste global de 448.

Posons maintenant cette opération :

\(
\begin{array}{rc|cl}
\text{dividende} & 7~5~1~5~2~3~8~1~0~5~6 & 2~5~9~2 & \text{diviseur} \\
& 5~1~8~4~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0} & \overline{2~8~9~9~3~3~7~4} & \text{quotient} \\
& \overline{2~3~3~1}~\mathbf{2}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0} & & \\
& 2~0~7~3~6~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0} &  & \\
& \overline{\phantom{0}~2~5~7~6}~\mathbf{3}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0} &  & \\
& \phantom{0}~2~3~3~2~8~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0} &  & \\
& \phantom{0}~\overline{\phantom{0}~2~4~3~5}~\mathbf{8}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0} & & \\
& \phantom{0}~\phantom{0}~2~3~3~2~8~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0} & & \\
& \phantom{0}~\phantom{0}~\overline{\phantom{0}~1~0~3~0}~\mathbf{1}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0} &  & \\
& \phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~7~7~7~6~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0} & & \\
& \phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\overline{\phantom{0}~2~5~2~5~\mathbf{0}}~\phantom{0}~\phantom{0} & & \\
& \phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~2~3~3~2~8~\phantom{0}~\phantom{0} &  & \\
& \phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\overline{\phantom{0}~1~9~2~2}~\mathbf{5}~\phantom{0} & & \\
& \phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~1~8~1~4~4~\phantom{0} & & \\
& \phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\overline{\phantom{0}~1~0~8~1}~\mathbf{6} & & \\
& \phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~1~0~3~6~8 & & \\
\text{reste}& \phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\overline{\phantom{0}~\phantom{0}~4~4~8} &  & \\
\end{array}
\)

C’est sur cette longue division que ce chapitre prend fin. Ce chapitre a été long mais j’espère que vous avez tenu la tête haute jusqu’au bout. Ce voyage n’est pas censé être facile. Mais il y a la récompense au bout de l’effort. Alors, tenez bon ! 😉

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Arnold NGORANEvariste Dossou Auteurs de commentaires récents
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Evariste Dossou
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Dossou

Bonjour le messie comment allez vous?