1.5. Intermezzo : Astuces de calcul mental

À trente ans, les hommes ont déjà fini de se connaître par le cœur. Le calcul leur suffit — Jean-Pierre Guay, Le Bonheur de Christian Dagenais.

La femme a la passion du calcul : elle divise son âge par deux, double le prix de ses robes, triple les appointements de son mari et ajoute cinq ans à l’âge de sa meilleure amie — Marcel Achard, Auprès de ma blonde.

Si comme moi, il vous est arrivé de vous demander comment réaliser des calculs rapidement sans avoir à utiliser un stylo et une feuille, alors ce chapitre peut vous servir. Ce genre de calcul rapide est appelé calcul mental. Il est nécessaire, dans plusieurs circonstances de vie, d’être capable de réaliser des calculs assez rapidement, soit parce qu’on se trouve dans un endroit où il est impossible d’écrire pour poser les calculs, soit parce qu’on veut paraître comme un génie aux yeux de ses amis 😆

Une autre situation dans laquelle le calcul de tête est utile est l’approximation des résultats de calcul. Par exemple, vous avez une opération au tableau, avant même de poser l’opération, vous pouvez très rapidement avoir une idée du résultat en faisant un calcul rapide de tête. Si l’opération contient trop de chiffres au point qu’il est difficile de l’effectuer, on peut toutefois avoir une idée des premiers chiffres significatifs ou de l’ordre de grandeur du résultat.

Toutes ses raisons m’ont poussé à ajouter ce chapitre. Il apparaît le mot “intermezzo” dans le titre. C’est la traduction en italien du mot français “intermède“, qui est une période de diversion (ou de distraction) entre deux évènements de même nature. Dans notre voyage, les intermèdes seront des périodes où nous aborderons des thèmes intéressants mais qui ne font pas partie du fil normal de notre progression. Ces thèmes ne sont pas essentiels pour le voyage. En l’occurrence, je tiens à souligner que ce chapitre n’est nullement nécessaire pour le voyage. Bien que ce soit souvent utile de réaliser des calculs de tête, cette habitude peut devenir néfaste car elle tend à nous faire oublier le sens réel des nombres et des opérations effectuées sur eux. Le calcul mental est juste mécanique, il n’a rien d’édifiant.

Les techniques ou astuces de calcul que je vais vous présenter dans ce chapitre sont ceux que j’ai appris du maître mathémagicien Dr Arthur Benjamin, mathématicien américain de génie, célèbre pour ses compétences hors du commun en calcul mental et en analyse combinatoire (une branche actuelle des mathématiques). Je ne serai pas exhaustif dans ma présentation car cela serait trop long et nous éloignerait de notre objectif. Je renvoie les intéressés au livre intitulé “Secrets of mental math – the mathemagician’s guide to lightning calculation and amazing math tricks” écrit par Arthur Benjamin et Michael Shermer. Eh oui ! c’est un livre écrit en anglais. Mais bon, les nombres sont universels, épurés de toute considération de localité donc vous pourrez vous en sortir. Ceci étant dit, passons maintenant aux choses sérieuses.

La multiplication par 11

Commençons d’abord par la multiplication d’un nombre à deux chiffres par 11. Essayez de multiplier les nombres 25, 31, 72 par 11. Qu’obtenez-vous ? Cette opération est maintenant triviale pour vous, vous obtenez donc : \(\mathbf{25} \times 11 = \mathbf{2}7\mathbf{5}\), \(\mathbf{31} \times 11 = \mathbf{3}4\mathbf{1}\) et \(\mathbf{72} \times 11 = \mathbf{7}9\mathbf{2}\).

Une manière de réaliser ce calcul rapidement, c’est de remarquer que \(11 = 10 + 1\), alors plutôt que de multiplier le nombre directement par 11, on peut le multiplier par 10 (ce qui est jeu d’enfants) et ajouter le produit du nombre par 1 (trivial aussi). Par exemple \(25 \times 11 = 25 \times 10 + 25 \times 1 = 250 + 25 = 275\) ou \(31 \times 11 = 31 \times 10 + 31 \times 1 = 310 + 31 = 341\). La raison de cette méthode repose sur le fait qu’il est facile de multiplier un nombre par 10, 100, 1000, etc. et d’ajouter un nombre au produit obtenu. remarquer aussi que nous avons appliquer une technique fondamentale en science, c’est le “diviser pour mieux régner”. En effet, on a divisé 11 en 10 + 1 pour faciliter l’opération. Notez qu’il ne s’agit pas ici de “diviser” dans le sens arithmétique du terme mais plutôt dans son sens littéral. Comprenez donc “diviser” comme “séparer”.

La méthode présentée précédemment n’est intéressante que lorsque le nombre à multiplier par 11 est suffisamment simple pour que son addition à son produit par 10 soit aisé. par exemple \(72 \times 11 = 72 \times 10 + 72 = 720 + 72\). Bien que l’opération \(720 + 72\) soit assez simple pour être réalisée de tête, certains la trouveraient légitimement difficile. Ne vous inquiétez pas, il y a une solution pour vous. Et c’est cette solution même qui constitue une astuce. Revenons pour cela aux opérations que j’ai listées en début de cette section. Regardez les nombres en gras, leur position dans l’opération et dans le résultat, et la relation entre eux et le chiffre qui se trouve au milieu d’eux dans le résultat. Avec un peu d’attention, vous remarquez que le résultat de la multiplication du nombre par 11 est formé des chiffres de ce nombre au milieu desquels on met le chiffre représentant leur somme. Par exemple, pour trouver \(\mathbf{25} \times 11\), on écrit 2??5 et le chiffre ?? est égal à la somme de 2 et 5, donc 7. Alors \(\mathbf{25} \times 11 = 2\mathbf{7}5\). On applique la même méthode aux autres opérations.

Certains parmi vous ont dû rapidement se rendre qu’il y a problème lorsque la somme des chiffres est plus grande que 9, c’est-à-dire qu’au lieu d’un chiffre, on a un nombre à 2 chiffres. Pas de panique ! Dans ce cas, on écrit le chiffre des unités au milieu et on retient le chiffre des dizaines pour l’ajouter au chiffre de gauche. Par exemple, si on veut multiplier 58 par 11, on écrit 5??8, ?? est égal à \(5 + 8\) donc 13, on mettra 3 au milieu du résultat et on ajoute 1 à 5, ce qui fait 6. Le résultat recherché est donc 638. De même \(99 \times 11 = 1089\) car \(9 + 9 = 18\), on retient 1 qu’on ajoute à 9, ce qui fait 10.

Cette méthode s’applique de la même manière au cas des nombres à plusieurs chiffres. Soit, par exemple, à multiplier 243 par 11. Le résultat commence par 2 et se termine par 3, on écrit donc 2????3. Mais, ici plutôt que d’avoir un seul chiffre au milieu, nous en aurons deux. Le premier étant la somme de 2 et 4 et le second, la somme de 4 et 3. Alors, le résultat recherché est 2673. Quel serait donc le résultat de \(356 \times 11\) ? On écrit 3????6, ?? est égal à \(5 + 6\) donc 11, on écrit 1 et on retient 1 qu’on ajoute à ??. ?? est égal à \(3 + 5\) donc 8 plus 1 de retenue, font 9. Alors, le résultat cherché est 3916.

Vous voyez bien que cette technique peut s’appliquer à la multiplication d’un nombre quelconque par 11.

La multiplication de deux nombres à deux chiffres

Le deux nombres nombres sont identiques et se terminent par 5

Soit à réaliser \(25 \times 25\) ou \(45 \times 45\) ou encore \(75 \times 75\), la technique générale est la suivante :

  • Le résultat commence par le produit du premier chiffre (le chiffre des dizaines) par ce chiffre augmenté d’une unité, et
  • le résultat se termine par 25.

Alors pour trouver le produit \(25 \times 25\), on fait \(2 \times 3\) puisque 3 est égal à 2 augmenté d’une unité (\(3 = 2 + 1\)). On obtient 6 et on met 25 à droite de 6. Le produit recherché est donc 625. De même \(45 \times 45 = 2025\) car \(4 \times 5 = 20\) et \(75 \times 75 = 5625\) car \(7 \times 8 = 56\).
Cette technique s’applique d’ailleurs au cas des nombres de plusieurs chiffres se terminant par 5. La seule différence est qu’au lieu de prendre le premier chiffre, il faut prendre tous les chiffres sauf 5. Par exemple \(125 \times 125 = 15625\) car \(12 \times 13 = 156\). Vous remarquez évidemment que la technique perd sa valeur lorsqu’il y a trop de chiffres. Pour qu’elle soit aussi efficace que dans le cas précédent, il faut être capable de multiplier deux nombres quelconques assez rapidement.

Les deux nombres commencent par le même chiffre et dont la somme des chiffres des dizaines est égale à 10

  • Le résultat commence par le produit du premier chiffre (le chiffre des dizaines) par ce chiffre augmenté d’une unité, et
  • le résultat se termine par le produit des chiffres des dizaines. Si ce produit ne contient qu’un seul comme c’est le cas uniquement lorsque l’un des chiffres est 1 et l’autre est 9, le résultat se termine par 09 plutôt que par 9.

Par exemple, pour trouver \(22 \times 28\), le résultat commence par \(2 \times 3 = 6\) et se termine par \(2 \times 8 = 16\). D’où 616 est le produit cherché. De même \(83 \times 87 = 7221\) car \(8 \times 9 = 72\) et \(3 \times 7 = 21\).
Si on veut trouver \(61 \times 69\), le résultat commence par \(6 \times 7 = 42\) et se termine par 09. Donc 4209 est le produit recherché.

L’addition et la soustraction

L’astuce se résume en une phrase : “Faire l’opération de gauche à droite” plutôt que de droite à gauche comme nous l’avons vu jusqu’ici. Arthur Benjamin nomme cette méthode left-to-right (de gauche à droite, en français). En effet, réaliser l’opération de gauche est plus naturel car dans notre système linguistique, nous lisons de gauche à droite. Lorsque vous voyez un nombre, vous le mémorisez en allant du chiffre de plus haute importance (celui qui est totalement à gauche) jusqu’au chiffre des unités (le chiffre totalement à droite). Pour vous en apercevoir, prenez un nombre quelconque (56783 par exemple) et lisez-le à voix haute. Maintenant, essayez de réciter ses chiffres en allant en allant de droite à gauche. Que constatez-vous ? Vous avez de la peine à le faire. Pourtant vous faites le même exercice aisément de gauche à droite. C’est ce qui explique la raison de la méthode left-to-right.

Vous vous demandez peut-être pourquoi ce n’est pas la méthode utilisée en général. La réponse se trouve dans le sens dans lequel les retenues circulent. Rappelez-vous que lorsqu’on fait l’addition de deux nombres, si la somme de leurs chiffres de même octave est un nombre à deux chiffres, on retient le chiffre des dizaines et on l’ajoute à la somme des chiffres immédiatement à gauche. Donc on distribue la retenue de droite à gauche. C’est pareil pour la soustraction et la multiplication.

Alors, en utilisant la méthode left-to-right, il faut veiller à bien prendre en compte les retenues venant de droite. Par exemple, si on veut additionner 257 et 973. En allant de gauche à droite, on a \(2 + 9 = 11\), on pose ce résultat en se souvenant qu’il n’est pas final. On fait ensuite \(5 + 7 = 12\), on pose 2 et on retient 1 qu’on ajoute à 11. On a donc maintenant posé 122. On réalise la dernière addition \(7 + 3 = 10\), on pose 0 et on retient 1 qu’on ajoute à 2, trouvé précédemment. On a donc finalement 1230.

Oui ! je vous l’accorde, c’est un peu bizarre mais si vous vous exercez, vous vous y accoutumerez et vous serez capables de réaliser ce genre d’opérations à la vitesse de la lumière.

Diviser pour mieux régner

J’ai déjà parlé plus haut de cette méthode, appelée Divide and Conquer en anglais. Le principe est que quelque soit l’opération qu’on essaie de faire, il est possible de la réduire à une opération plus simple à réaliser. Et en général, c’est parce que dans notre système de numération, un nombre est composé d’unités, de dizaines, de centaines, de milliers, de millions, etc. Par exemple, \(3541 = 3000 + 500 + 40 + 1\), \(1325849 = 1000000 + 300000 + 20000 + 5000 + 800 + 40 + 9\), etc.

Alors pour additionner 51 et 45, puisque \(45 = 40 + 5\), on peut d’abord faire \(51 + 40 = 91\) et ajouter les 5 à ce résultat. Ce qui donne 96. Pour faire \(732 + 355\), on fait \(732 + 300 = 1032\), ensuite \(1032 + 50 = 1082\), et on ajoute 5. Ce qui fait 1087.

Avec un peu plus d’effort, la technique s’applique aussi bien à la multiplication. Soit à déterminer \(87 \times 12\). On remarque que \(12 = 10 + 2\), on fait donc \(87 \times 10 = 870\), ensuite \(87 \times 2 = 174\) et on ajoute les deux résultats. Ce qui donne 1044.

Souvent, il est plus facile de ramener un des facteurs d’un produit au nombre le plus proche se terminant par zéro, réaliser l’opération avec ce nombre et retrancher la quantité ajoutée ou ajouter la quantité retranchée. Prenons quelques exemples pour clarifier cette technique.
Soit à multiplier 99 par 23. Puisque 99 est proche de 100, il suffit de lui ajouter une unité. On fait maintenant \(23 \times 100 = 2300\) et on retranche \(23 \times \mathbf{1} = 23\). Ce qui fait \(2300 – 23\). On peut faire d’abord \(2300 – 20 = 2280\) et \(2280 – 3 = 2277\). Le produit recherché est donc 2277. De même si on voulait déterminer \(83 \times 25\), on peut soit réduire 83 à 80, soit l’augmenter à 100, soit réduire 25 à 20, soit l’amener à 30. Prenons le deuxième cas, on amène 83 à 100, c’est-à-dire qu’on lui ajoute 17. On fait maintenant \(100 \times 25 = 2500\), ensuite \(17 \times 25 = 425\) et on soustrait ce résultat du premier, soit \(2500 – 425 = 2075\). Le produit de la multiplication de 83 par 25 est donc 2075.
Soit enfin à multiplier 28 par 25. Puisqu’on sait rapidement calculer le produit de deux nombres identiques se terminant par 5, on réduit 28 à 25, donc de 3 unités. On fait \(25 \times 25 = 625\) auquel on ajoute le produit \(25 \times 3 = 75\). Le produit cherché est donc égal à \(625 + 75 = 700\).

Vous remarquez bien que pour que la technique précédente soit vraiment profitable, il faut bien choisir le nombre à réduire ou augmenter. Un mauvais choix conduirait inévitablement à une méthode plus laborieuse que la normale.

Je vous laisse appliquer avec ces quelques techniques. Il y en a encore plusieurs mais ceux-là sont ceux que nous pouvons utiliser pour l’instant. À mesure que nous apprendrons plus de maths, nous découvrirons plus de techniques. Alors, continuons notre épopée !

PDF du cours

Intermezzo_Astuces de calcul mental.pdf
Intermezzo : Astuces de calcul mental
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