1.6. Comment vérifier l’exactitude des opérations mathématiques ?

Même erronés, les chiffres sont signes d’exactitude — Jean-Claude Clari, Le mot chimère à deux sens.

Je me suis gardé de faire de la vérité une idole, préférant lui laisser son nom plus humble d’exactitude — Marguerite Yourcenar, L’oeuvre au noir.

Au cours des chapitres précédents, nous avons appris les modes élémentaires de génération des nombres (addition, soustraction, multiplication et division) et nous avons appris à les appliquer sur un problème assez simple. En vous exerçant à réaliser ces opérations, vous avez dû parfois douter de vos résultats à tel point que la nécessité de vérifier l’exactitude de vos résultats s’est faite sentir. Ne vous inquiétez pas, nous apprendrons ici comment prouver que nos opérations sont correctes. En maths, le procédé par lequel on montre qu’une opération est juste est s’appelle preuve. Avant de passer à l’étude de ces preuves, un peu de vocabulaire nous ferait du bien.

Les nombres qui interviennent dans une opération sont appelés termes ou opérandes de l’opération. Par exemple, dans \(25 + 32\), 25 et 35 sont les termes (ou opérandes) de l’addition. Les facteurs de la multiplications sont les termes (ou opérandes) de la multiplication. Il en est de même pour la division, la soustraction et pour toutes les opérations que nous verrons plus tard. Pourquoi donc tous ces noms ? Je ne saurai réellement le dire. 😀

Preuve de l’addition

Puisque le résultat de l’addition est inchangé peu importe la position de ses termes (\(21 + 53 = 53 + 21\), on peut vérifier l’addition en inversant la position des termes. Par exemple, si le but était de trouver \(1253 + 751\), après avoir fait ce calcul et obtenu un résultat, on peut vérifier le résultat en faisant \(751 + 1253\). La raison de cette méthode est que si vous avez fait une erreur dans la première opération, il est peu probable que vous fassiez la même erreur dans la seconde. Toutefois, vous pouvez faire une erreur différente de la première. Ce n’est donc pas une garantie.

On peut aussi vérifier l’addition en employant la méthode left-to-right que nous avons étudié dans le chapitre sur les astuces de calcul mental.

Preuve de la soustraction

Lorsqu’on additionne le deuxième terme de la soustraction (le terme qu’on retranche) au résultat de la soustraction (le reste), on doit obtenir le premier terme. Par exemple, pour vérifier que \(1258 – 325 = 933\), on fait \(325 + 933\) et on obtient 1258 qui est égal au premier terme de la soustraction.

On peut également vérifier la soustraction par la soustraction. Il suffit de retrancher le second terme en plusieurs fois. Le dernier résultat de cette soustraction successive doit être égal au reste de la soustraction à vérifier. Considérons l’exemple précédent, on sait que \(325 = 100 + 200 + 25\). On peut donc faire \(1258 – 100 = 1158\), ensuite \(1158 – 200 = 958\), enfin \(958 – 25 = 933\). On voit bien que nous trouvons le même reste que la soustraction initiale \(1258 – 933\) donc l’opération était correcte.

Enfin, on peut vérifier la soustraction en utilisant la méthode left-to-right.

Preuve de la multiplication

On peut vérifier la multiplication par l’une des méthodes suivantes :

  • En inversant la position des termes, on doit obtenir le même produit.
    Par exemple, pour vérifier \(125 \times 32\), on fait \(32 \times 125\) et on regarde si les deux résultats sont égaux.
  • En divisant le produit par l’un des facteurs, on doit obtenir l’autre facteur.
    Pour vérifier \(125 \times 32 = 4000\), on fait \(4000 \div 32 = 125\). Puisqu’on obtient l’autre facteur, alors l’opération est correcte.
  • On multiplie l’un des termes par un nombre et on divise l’autre terme par le même nombre. Le produit des deux résultats doit être égal au produit qu’on veut vérifier.
    Pour vérifier \(125 \times 32 = 4000\), on fait d’abord \(125 \div 5 = 25\), ensuite \(32 \times 5 = 160\), enfin \(25 \times 160 = 4000\). On trouve même résultat que le produit à vérifier, donc ce dernier est correct.

Preuve de la division

On peut vérifier la division par l’une des méthodes ci-dessous :

  • Si le reste de la division est nul, en multipliant le diviseur par le quotient, on doit obtenir le dividende. Pour vérifier \(480 \div 15 = 32\), on fait \(15 \times 32\) et on trouve 480. Donc l’opération est exacte.
    Si le reste de la division n’est pas nul, on procède de la même manière que précédemment mais on ajoute le reste au produit du diviseur par le quotient. Par exemple, pour vérifier que \(480 \div 13 = 36\) avec une reste de 12, on fait d’abord \(36 \times 13 = 468\) et on ajoute les 12, ce qui fait 480. On obtient le dividende donc l’opération est correcte.
  • En multipliant (ou on divise) le dividende et le diviseur par le même nombre, le résultat de la division du nouveau dividende par le nouveau diviseur doit être le même que celui de la division qu’on veut vérifier.
    Par exemple, pour vérifier \(480 \div 15 = 32\), on fait \(480 \div 5 = 96\), ensuite \(15 \div 5 = 3\) et on fait \(96 \div 3 = 32\). On voit bien qu’on trouve le même résultat que \(480 \div 15\), l’opération est donc exacte.

Voici ainsi présenté tout ce qu’il faut savoir pour prouver l’exactitude des opérations élémentaires. Il existe une autre méthode communément employée pour prouver l’exactitude de la multiplication et de la division, elle s’appelle preuve par 9. Je ne la présente pas ici car elle est laborieuse et sujette à erreurs. Ceux que nous avons vus sont suffisants dans la plupart des cas.

C’est donc tout pour ce chapitre. Vous voyez bien qu’il est très court, cela prouve certainement qu’il est facile de prouver l’exactitude des opérations élémentaires. 🙂

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Comment vérifier l’exactitude des opérations
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