1.7. Les nombres fractionnaires et les fractions (1)

Dans tout ce qu’on entreprend, il faut donner les deux tiers à la raison, et l’autre tiers au hasard. Augmentez la première fraction, et vous serez pusillanime. Augmentez la seconde, vous serez téméraire — Napoléon Bonaparte.

La qualité esthétique signifie parler de nuances, quelquefois de fractions d’à peine un millimètre, de graduations très subtiles, ou de l’harmonie et de l’équilibre de plusieurs éléments visuels fonctionnant ensembles — Dieter Rams.

Nombres fractionnaires et fractions : définition

Lors de notre étude de la division des nombres, nous avons constaté que certaines opérations conduisent à des quotients exacts (avec restes nuls), d’autres à des quotients avec restes non nuls. Lorsque la division de deux nombres admet un reste, cela veut dire qu’il est impossible de diviser le premier (le dividende) en lots de même nombre d’unités. Le nombre de lots étant le diviseur. Par exemple, la division de 360 par 12 donne 30 comme quotient exact. Ça veut dire que nous pouvons diviser exactement 360 unités en 12 lots de 30 unités chacun. En revanche, la division des même 360 unités par 13 nous donne 27 comme quotient et 9 comme reste, ce qui veut dire que nous pouvons tout au plus diviser les 360 unités en 13 lots de 27 unités mais avec en plus un lot ne contenant que 9 unités. La division dans ce cas n’admet donc pas un quotient exact. On dit que la division n’est pas entière.

Notons dès à présent que les nombres que nous avons manipulés jusqu’à maintenant sont appelés nombres entiers naturels. Entiers parce qu’ils ne sont formés que d’unités associés les unes aux autres. Naturels parce que ce sont ces nombres qui sont vraiment les plus primitifs et qu’on génère par agrégation d’unités. Mais, vous rappelez-vous que l’unité est elle-même indéfiniment divisible ? C’est parfait ! mais qu’est-ce que cela implique ? Ça veut dire qu’à part les nombres entiers dont nous sommes déjà familiers, il existe d’autres nombres. Ces nombres sont nés de la nécessité de diviser l’unité. Ce sont ces nombres qui interviennent dans le cas des divisions non entières.

Pour mieux cerner la nature de ces nombres, revenons à l’exemple précédent. Puisque la division de 360 par 13 admet 27 comme quotient et que ce quotient n’est pas exact (puisqu’il y a un reste de 9), cela veut dire que le quotient exact n’est pas un nombre entier naturel mais un certain nombre qui se trouverait entre 27 et 28 (car 28 est le nombre entier qui est plus grand que 27 d’une seule unité). Comme je l’ai déjà dit, toutes les fois où on n’a pas un quotient exact comme résultat d’une division, on obtient ce genre de nombres qui ne sont pas des entiers. Ils sont tellement importants qu’on les désigne par un nom. On les appelle nombres fractionnaires.
Alors pour la division de 360 par 13, on suppose qu’on peut diviser l’unité en 13 parties égales et qu’on prend 360 fois une de ces parties. Prenons des nombres plus petits pour que ce soit mieux perceptible. Soit à diviser 3 par 2 ; on suppose qu’on peut séparer l’unité en deux (2) parties égales et on prend 3 fois, une de ces parties. On dit qu’on prend la moitié de 3 ou qu’on prend les trois demies de l’unité.
De même, diviser 5 par 4 revient à diviser l’unité en quatre (4) parties égales et à prendre cinq (5) fois, une de ces parties. On dit qu’on prend les cinq quarts de l’unité. Diviser 4 par 3 revient à prendre les quatre tiers de l’unité… L’image ci-dessous montre comment on peut se représenter schématiquement ces nombres nombres fractionnaires.

Représentation graphique de quelques nombres fractionnaires

Représentation graphique de quelques nombres fractionnaires

Remarquons maintenant que tout nombre fractionnaire dans lequel le dividende est plus grand que le diviseur — c’est-à-dire qu’il est plus grand que l’unité — se décompose en un nombre entier naturel et un nombre fractionnaire plus petit que l’unité. Par exemple, on a vu plus haut que 360 divisé par 13 donne un quotient exact compris entre 27 et 28, cela veut dire que ce quotient est égal à 27 plus un certain nombre qui est une partie de l’unité (donc plus petit que l’unité), puisqu’il y a une seule unité entre 27 et 28 (\(28 – 27 = 1\)). Ainsi, nous pouvons réduire notre étude aux nombres fractionnaires inférieurs à l’unité. On appelle ces nombres des fractions.

Une fraction a deux termes et s’écrit soit en mettant le premier terme au-dessus du second et en séparant les deux par un trait horizontal, soit en écrivant le premier à gauche du second et en les séparant par un trait oblique (ou slash). Par exemple, \(\frac{2}{3}\) et \(2 / 3\) désigne les deux tiers de l’unité. Le premier terme (2 dans notre exemple) est appelé numérateur car il désigne le nombre de fois qu’on prend une partie de l’unité. Le second terme — le terme qui divise l’unité en parties égales — (3 dans notre exemple) est appelé dénominateur car c’est lui qui détermine la dénomination (ou le nom) de la fraction. Les fractions \(\frac{1}{5}\), \(2 / 5\) et \(\frac{3}{5}\) ont le même dénominateur ; on dit que 5 est leur dénominateur commun. Les fractions ayant la même dénomination se comparent juste en comparant leurs numérateurs. Ainsi, \(3 / 7\) est plus petit que \(5 / 7\) car puisque ces fractions ont le même dénominateur, 7, on compare leurs numérateurs, or 3 est plus petit que 7 donc nous avons raison de dire que \(3 / 7\) est plus petit que \(5 / 7\). De même \(\frac{125}{843}\) est plus petit que \(\frac{512}{843}\).

Une dernière remarque mais qui est des plus importantes, c’est que tout nombre entier naturel peut s’écrire sous la forme d’un nombre fractionnaire dont le numérateur est ce nombre entier et dont le dénominateur est 1. Par exemple, le nombre entier 12 est équivalent au nombre fractionnaire \(12/1\). De même, le nombre entier 1254 est équivalent au nombre fractionnaire \(1254/1\).

Propriétés générales des fractions

On déduit les propriétés des fractions en appliquant les opérations élémentaires (addition, multiplication, soustraction et division) aux termes d’une fraction spécifique et en observant l’effet produit par ces opérations.

1. On ne change pas la valeur d’une fraction en multipliant ou en divisant ces deux termes par un même nombre.

Cette propriété s’observe en essayant d’appliquer une multiplication ou une division, par un même nombre, sur les termes d’une fraction. On constate que la valeur de la fraction reste inchangée. Par exemple \(2 / 6\) a la même valeur que \(1 / 3\) car on obtient \(2 / 6\) en multipliant le numérateur et le dénominateur de \(1/3\) par 2. Comment donc pouvons-nous expliquer cela ? On sait que \(1/3\) désigne le fait de diviser l’unité en 3 parts égales et d’en prendre juste une. Imaginez maintenant que plutôt que de partager l’unité en 3 parts, on la partage en 6 parts, donc en deux fois plus de parts. Si donc au lieu de prendre une seule part, on en prend deux fois plus, on obtiendrait finalement la même part. La figure suivante illustre ce fait. On convient donc que les fractions suivantes sont toutes égales à \(1/3\) :

\(\frac{2}{6},\ \ \ \frac{4}{12},\ \ \ \frac{5}{15},\ \ \ \frac{15}{45},\ \ \ \frac{3}{9},\ \ \ \frac{9}{27},\ \ \ \ldots\)

On dit dans ce cas que \(1/3\) est la forme la plus réduite de toutes ces fractions ; elle est sous une forme irréductible.

Les fractions 1/2 et 2/6 sont égales

Les fractions 1/2 et 2/6 sont égales

Tout ce que nous venons dire pour la multiplication des termes d’une fraction par le même nombre vaut de même pour la division. Soit la fraction \(1029/1372\). Si on divise son numérateur et son dénominateur par 7, on obtient la fraction \(147/196\) qui est égale à \(1029/1372\) pour les mêmes raisons que nous avons données dans le cas de la multiplication. On peut diviser les termes de la nouvelle fraction par 7, on obtient \(21/28\) qui est encore égale à \(1029/1372\). Divisons encore par 7, on obtient \(3/4\) qui est encore égale à \(1029/1372\). À ce stade, on ne peut pas diviser les termes de \(3/4\) par 7 et obtenir des quotients exacts donc on s’arrête là et on dit que \(3/4\) est la forme irréductible de \(1029/1372\). Voici à quoi ressemble cette suite de fractions toutes égales à \(1029/1372\) :

\(\frac{1029}{1372},\ \ \ \frac{147}{196},\ \ \ \frac{21}{28},\ \ \ \frac{3}{4}\)

2. On peut multiplier la valeur d’une fraction de deux manières :

  1. En multipliant son numérateur, sans changer son dénominateur.
    Soit la fraction \(2/6\) qui désigne les deux sixièmes de l’unité. Si on multiplie le numérateur par 2, plutôt que de prendre 2 parts des 6 parts de l’unité, on en prendrait 4, car \(2 \times 2 = 4\) et la fraction deviendrait \(4/6\). Vous voyez bien que nous avons ainsi multiplié la valeur de la fraction \(2/6\) par 2.
  2. En divisant son dénominateur, sans changer son numérateur.
    Proposons-nous maintenant de diviser le dénominateur par 2, soit \(6 \div 2 = 3\). Alors, plutôt que de diviser l’unité en 6 parts et d’en prendre 2, on la divise en 3 parts (\(3 = 6 \div 2\)) et on prend 2 parts. Ce faisant, vous voyez qu’on a doublé (multiplié par 2) notre gain.

3. De même, on peut diviser la valeur d’une fraction de deux manières :

  1. En divisant son numérateur, sans changer son dénominateur.
    On suit le même raisonnement que précédemment. Considérons la fraction \(2/6\) et disons que nous divisons son numérateur par 2. Ce faisant, au lieu de prendre 2 parts parmi les 6 parts de l’unité, nous n’en prendrions qu’une seule part. Il va sans dire que nous avons, de la même manière, divisé notre gain par 2.
  2. En multipliant son dénominateur, sans changer son numérateur.
    Décidons maintenant de multiplier le dénominateur de \(2/6\) par 2 sans changer son numérateur. On aura maintenant les deux douzièmes de l’unité. On constate, cette fois encore, que nous avons divisé notre gain initial par 2.

4. On augmente la valeur d’une fraction en augmentant ses deux termes d’un même nombre.

Considérons la fraction \(1/3\) et augmentons son numérateur et son dénominateur de deux unités, on a donc \(3/5\). Au lieu de diviser l’unité en 3 parts et d’en prendre une, nous avons maintenant divisé l’unité en 5 parts et nous en avons pris 3. Ce faisant, nous avons augmenté notre gain, car nous avons pris plus de parts alors que nous avons divisé l’unité en plus de parts. L’image ci-dessous vous permettra de mieux voir ce qui s’est passé.

La fraction 3/5 est plus grande que la fraction 1/3

La fraction 3/5 est plus grande que la fraction 1/3

5. De même, on diminue la valeur d’une fraction en diminuant ses deux termes d’un même nombre.

Soit la fraction \(5/7\) ; elle désigne les cinq septièmes de l’unité, c’est-à-dire qu’on scinde l’unité en sept parties égales et on en prend cinq. Si on diminue chaque terme de deux unités, on obtient \(3/5\) qui signifie qu’on divise maintenant l’unité en cinq parties et qu’on en prend trois. La figure suivante montre bien qu’en divisant l’unité en moins de parties et qu’en prenant moins de parties que précédemment, on réduit notre gain.

La fraction 3/5 est plus petite que la fraction 5/7

La fraction 3/5 est plus petite que la fraction 5/7

Les opérations élémentaires sur les fractions

De même que les opérations élémentaires s’appliquent aux nombres entiers naturels, elles s’appliquent également aux fractions. Nous allons dans cette section étudier l’addition, la soustraction, la multiplication et la division des fractions. Commençons donc !

L’addition des fractions

Il y a nécessairement deux cas à distinguer : le cas où les fractions ont la même dénomination et le cas où elles ont des dénominations différentes.

Les fractions ont le même dénominateur

Lorsque les fractions à additionner ont le même dénominateur, c’est-à-dire qu’elles ont un dénominateur commun, le résultat sera la fraction dont le numérateur est la somme des numérateurs des fractions et dont le dénominateur est le dénominateur commun aux deux fractions.
Par exemple :

\(\frac{13}{218} + \frac{99}{218} = \frac{13 + 99}{218} = \frac{112}{218}\)

\(\frac{130}{23} + \frac{9}{23} + \frac{51}{23} = \frac{130 + 9 + 51}{23} = \frac{190}{23}\)

Les fractions ont des dénominateurs différents

La situation devient un peu plus compliquée quand les dénominateurs sont différents. Mais, vous vous doutez bien que nous chercherons à ramener ce cas au cas le plus simple des fractions avec dénominateur commun. Nous allons en effet réduire ces fractions au même dénominateur. Si l’addition ne comporte que deux termes, on y parvient en multipliant le numérateur de chaque fraction par le dénominateur de l’autre fraction et en remplaçant le dénominateur de chaque fraction par le produit des deux dénominateurs.
Par exemple :

\(\frac{5}{7} + \frac{3}{5} = \frac{5 \times \mathbf{5}}{7 \times \mathbf{5}} + \frac{3 \times \mathbf{7}}{5 \times \mathbf{7}} = \frac{25 + 21}{35} = \frac{46}{35}\)

Si l’addition comporte plus de deux termes, on réduit au même dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le produit des dénominateurs des autres fractions.
Voici quelques exemples :

\(
\begin{equation*}
\begin{split}
\frac{5}{7} + \frac{3}{5} + \frac{9}{10} + \frac{2}{3} & = \frac{5 \times \mathbf{5 \times 10 \times 3}}{7 \times \mathbf{5 \times 10 \times 3}} + \frac{3 \times \mathbf{7 \times 10 \times 3}}{5 \times \mathbf{7 \times 10 \times 3}} + \frac{9 \times \mathbf{7 \times 5 \times 3}}{10 \times \mathbf{7 \times 5 \times 3}} + \frac{2 \times \mathbf{7 \times 5 \times 10}}{3 \times \mathbf{7 \times 5 \times 10}} \\
& = \frac{750}{1050} + \frac{630}{1050} + \frac{945}{1050} + \frac{700}{1050} \\
& = \frac{121}{42}
\end{split}
\end{equation*}
\)

Lorsque l’un des dénominateurs des fractions est un multiple de l’autre dénominateur, il y a une méthode plus rapide pour réduire ces fractions au même dénominateur. Nous n’en parlerons pas ici car ça nécessite de connaître le mode de décomposition des nombres en facteurs premiers que nous verrons dans la section Comment réduire une fraction à sa forme irréductible ?

La soustraction des fractions

Nous avons les mêmes règles que dans le cas de l’addition à part que le symbole \( + \) de l’addition est remplacé par le symbole \( – \) de la soustraction. Par exemple :

\(\frac{5}{7} – \frac{3}{5} = \frac{5 \times \mathbf{5}}{7 \times \mathbf{5}} – \frac{3 \times \mathbf{7}}{5 \times \mathbf{7}} = \frac{25 – 21}{35} = \frac{4}{35}\)

La multiplication des fractions

Le résultat de la multiplication de plusieurs fractions est la fraction dont le numérateur est le produit des numérateurs des fractions et dont le dénominateur est le produit des dénominateurs des fractions.
Par exemple :

\(\frac{5}{7} \times \frac{3}{5} = \frac{5 \times 3}{7 \times 5} = \frac{15}{35}\)

\(\frac{2}{3} \times \frac{4}{9} \times \frac{10}{11} = \frac{2 \times 4 \times 10}{3 \times 9 \times 11} = \frac{80}{297}\)

Si l’un des termes de la multiplication est un nombre entier, il faut juste le transformer en son équivalent fractionnaire. Par exemple :

\(\frac{15}{7} \times 3 = \frac{15}{7} \times \frac{3}{1} = \frac{15 \times 3}{7 \times 1} = \frac{45}{7}\)

La division des fractions

La division d’une fraction par une autre est équivalente à la multiplication de la fraction dividende par la fraction diviseur ayant ses termes inversés (le numérateur devient dénominateur et le dénominateur devient numérateur). Par exemple :

\(\frac{5}{7} \div \frac{3}{5} = \frac{5}{7} \mathbf{\times \frac{5}{3}} = \frac{5 \times 5}{7 \times 3}\)

Des nombres fractionnaires aux fractions

Dans les sections précédentes, j’ai dit que le résultat de chaque opération est une fraction. Ce n’est pas totalement vrai comme vous avez dû le constater. Par exemple \(5/6 + 2/3\) donne 27/18, qui est un nombre fractionnaire (et non une fraction) car son numérateur est supérieur à son dénominateur. En effet, on obtient généralement un nombre fractionnaire, mais rappelez-vous que j’ai dit, dans la section Définition, que tout nombre fractionnaire n’est rien d’autre que la somme d’un nombre entier naturel et d’une fraction. Une fraction étant, je le rappelle, plus petite que l’unité car son numérateur est plus petit que son dénominateur.

La question qui en découle naturellement, c’est comment décomposer un nombre fractionnaire en un nombre entier et une fraction ? Il n’y a rien que plus simple. On peut le faire de deux manières :

– On fait la division normale du numérateur par le dénominateur. Le quotient est le nombre entier recherché, le reste est le numérateur du nombre fractionnaire et le diviseur est le dénominateur du nombre fractionnaire.
Par exemple, 27 divisés par 18 donnent 1 comme quotient et 9 comme reste. Alors \(27/18 = 1 + 9/18\). Ça veut dire que \(27/18\) contient une seule unité et neuf dix-huitièmes de l’unité. De même 581 divisés par 43 donnent 13 comme quotient et 22 comme reste. Alors \(581/43 = 13 + 22/43\), ce qui veut dire que \(581/43\) contient treize unités et vingt-deux quarante-troisièmes de l’unité.

– On remarque d’abord que de même que tout nombre divisé par lui-même donne l’unité, un nombre fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont égaux n’est rien d’autre que l’unité. Donc \(15/15 = 1\), \(321/321 = 1\), … De même, en fonction de la circonstance, on peut mettre l’unité sous forme fractionnaire en choisissant le nombre qu’on veut comme numérateur et comme dénominateur. Par exemple, si, dans une opération, il convient de faire apparaître le nombre 27, on dira que \(1 = 27/27\) et donc on remplacera 1 par \(27/27\). Voyons maintenant comment cela intervient ici.
Soit encore à décomposer \(27/18\), on remarque que \(27 = 9 + 18\) donc :

\(\frac{27}{18} = \frac{9 + 18}{18} = \frac{9}{18} + \frac{18}{18} = \frac{9}{18} + 1\)

De même, \(581/43\) peut se décomposer de la manière suivante :

\(\frac{581}{43} = \frac{559 + 22}{43} = \frac{559}{43} + \frac{22}{43} = 13 + \frac{22}{43}\)

Le point commun à ces deux exemples est qu’on essaie de décomposer le numérateur en deux nombres : l’un étant entièrement divisible par le dénominateur et l’autre étant plus petit que le dénominateur. Mais, il est clair que la deuxième méthode est un peu plus compliquée mais dès que vous vous y habituerez, vous refuserez de recourir à la première méthode.

Comment réduire une fraction à sa forme irréductible ?

Un peu de définition

Dans la plupart des exemples que nous avons vus dans les autres sections, nous avons volontairement laissé certaines fractions (ou nombres fractionnaires) sont une forme qui peut être réduite jusqu’à la forme irréductible. Cela était toutefois nécessaire car il nous manquait des notions que nous allons voir ici. Aussi, après cette section, il faudra veiller à toujours mettre les fractions, lorsqu’elles sont les résultats d’opérations, sous leurs formes irréductibles.

Analysons la suite de nombres entiers naturels ci-dessous :

\(1,\ \ 2,\ \ 3,\ \ 4,\ \ 5,\ \ 6,\ \ 7,\ \ 8,\ \ 9,\ \ 10,\ \ 11,\ \ 12,\ \ 13,\ \ \ldots\)

Prenons d’abord les nombres 2, 4, 6 et 8. Quels liens ont-ils avec le nombre 2 ? Ils font évidemment partie de la table de multiplication de 2 (voir table de Pythagore). De même 3, 6, 9 et 12 font partie de la table de multiplication de 3. On dit que 2, 4, 6 et 8 sont des multiples de 2 et que 3, 6, 9 et 12 sont des multiples de 3.

Ainsi, le produit de deux nombres est un multiple de chacun des facteurs. Par exemple, puisque 5 fois 7 font 35, le nombre 35 est donc multiple de 5 et de 7. Inversement, on dit que 5 et 7 sont des diviseurs de 35.

Lorsque la division d’un nombre par un autre donne un quotient exact, on dit que le premier nombre est divisible par le second et que le second divise le premier. Le concept de divisibilité est tellement important dans la science des nombres que nous allons le revoir encore et encore. Ici, nous ne verrons que quelques faits de certains nombres, mais nous étudierons les lois dans la partie consacrée à l’Algèbre.

On peut donc aussi bien construire tous les multiples d’un nombre — en construisant sa table de multiplication par tous les nombres qu’on veut — et déterminer tous ses diviseurs — en sachant comment le décomposer en ses facteurs. Et c’est de dernier procédé que nous étudierons dans cette partie.

Prenons maintenant les nombres 1, 2, 3, 5, 7, 11 et 13. Qu’est-ce qu’ils ont en commun ? J’avoue que cette question n’est pas évidente. Une autre question pourrait vous servir d’indice. Consultez la table de Pythagore (ajoutez 11 et 13). À part dans les colonnes et dans les lignes de 1 et de ces nombres, retrouvez-vous ces nombres autre part ? Non ! évidemment. En effet, si vous les retrouviez, cela aurait signifié que ces nombres sont des multiples d’autres nombres à part 1 et eux-mêmes. Ou, en d’autres termes, que ces nombres auraient d’autres diviseurs que 1 et eux-mêmes. Ce qui n’est pas le cas pour ces nombres. Le nombres qui n’ont pas d’autres diviseurs que 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers. Tous les autres qui ne sont pas des nombres premiers ont des diviseurs autre que 1 et eux-mêmes ; on les appelle nombres composés. On peut donc les décomposer sous la forme du produit de leurs facteurs.

Reprenons encore les nombres 2, 4, 6 et 8. On a dit qu’ils sont des multiples de 2. Tous les multiples de 2 ont un nom particulier, on les appelle nombres pairs. Les nombres qui ne sont pas multiples de 2 sont appelés nombres impairs. Ainsi, dans la liste précédente 1, 3, 5, 7, 9, 11 et 13 sont des nombres impairs. Si vous analysez bien cette liste, vous verrez qu’après un nombre pair, il y a un nombre impair et qu’après un nombre impair, on trouve un nombre impair. Si on prolonge cette suite encore jusqu’à 25, on a :

\(14,\ \ 15,\ \ 16,\ \ 17,\ \ 18,\ \ 19,\ \ 20,\ \ 21,\ \ 22,\ \ 23,\ \ 24,\ \ 25,\ \ \ldots\)

Les nombres 14, 16, 18, 20, 22 et 24 sont tous des nombres pairs. 15, 17, 19, 21, 23 et 25 sont quant à eux des nombres impairs. Et vous voyez bien qu’après un nombre pair, on a un nombre impair et qu’après un nombre impair, on a un nombre pair. Vous voyez aussi qu’il semble que tous les nombres entiers naturels ne sont composés que de nombres pairs et de nombres impairs. Et c’est bien le cas.

Le tableau est bien plus difficile à peindre dans le cas des nombres premiers. En effet, on ne peut pas a priori savoir exactement à quelle position se trouvera le prochain nombre premier à partir d’un autre nombre premier. Reprenons les nombres premiers 1, 2, 3, 5, 7, 11 et 13. On voit que 1 et 2, et  2 et 3 sont séparés par une seule unité. On aurait tendance à croire que le prochain nombre premier après 3 sera le nombre plus grand que 3 d’une seule unité. On trouve 4 (\(4 = 3 + 1\)) et on constate que 4 n’est pas un nombre premier. Il faut en effet ajouter deux unités à 3 pour trouver le prochain nombre premier, 5 (\(5 = 3 + 2\)). Après 7 par exemple, le prochain nombre premier est 11, qui est à quatre unités de plus que 7. On se rend donc bien compte qu’il est difficile de prévoir la position des nombres premiers. C’est d’ailleurs un domaine de recherche pour les arithméticiens, qui, jusqu’à présent, reste un mystère.

Tous les nombres composés sont décomposables en facteurs premiers

On a dit précédemment que tous les nombres qui ne sont pas des nombres premiers ont des diviseurs (ou des facteurs). Mais, quelle est la nature de ces facteurs ? Prenons des exemples. On sait que le nombre 24 est égal à 6 fois 4 (\(24 = 6 \times 4\)). Or 6 est lui-même égal à 3 fois 2 (\(6 = 3 \times 2\)) et 4 est égal à 2 fois 2 (\(4 = 2 \times 2\)). On peut donc écrire 24 sous la forme :

\(24 = 3 \times 2 \times 2 \times 2\)

On peut disposer l’opération de décomposition comme suit :

\(
\begin{array}{r|l}
24 & 3 \\
8 & 2 \\
4 & 2 \\
2 & 2 \\
0 &
\end{array}
\)

Les dividendes sont disposés, l’un après l’autre, dans la colonne de gauche et les diviseurs sont disposés dans la colonne de droite. Le deuxième dividende, 8, est le reste de la division de 24 par 3. De même, le troisième dividende, 4, est le reste de la division de 8 par 2, et ainsi de suite.
6, 4, 3 et 2 sont donc des diviseurs de 24. Le produit de ces diviseurs entre eux sont également des diviseurs de 24. Par exemple 8 est un diviseur de 24 car \(8 = 4 \times 2\), 12 est également un diviseurs de 24 car \(12 = 4 \times 3\) ou \(12 = 6 \times 2\). Au total, les diviseurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24. Évidemment, les diviseurs d’un nombre sont plus petits que ce nombre, donc bien que 6 fois 8 (égal à 48) soit le produit de deux diviseurs de 24, il est plus grand que 24 donc ne peut pas être un de ses diviseurs. Mais, vous voyez que dans la dernière décomposition de 24 que nous avions obtenue, il n’y avait que les diviseurs 2 et 3. Vous voyez également que ces diviseurs sont des nombres premiers. Retenons juste cette remarque et prenons un autre exemple.

Soit à trouver les diviseurs (ou facteurs) du nombre 270. Il est plus facile de commencer par 2 puisqu’un nombre est soit pair soit impair. Si la division de 270 par 2 donne un quotient exact, alors 270 est pair. On remarque après calcul que \(270 \div 2 = 135\) donc 270 est pair et 2 et 135 sont des diviseurs de 270 (\(270 = 2 \times 135\)). Essayons maintenant avec 135. On se rend compte qu’il n’est pas entièrement divisible par 2 — il est donc impair — mais il est divisible par 3. 135 divisés par 3 font 45. Donc 2, 135, 3 et 45 sont des diviseurs de 270. Décomposons 45 maintenant. Il n’est pas divisible par 2 mais est divisible par 3, on a \(45 \div 3 = 15\). De même 15 est divisible par 3, on a \(15 \div 3 = 5\). Les nombres 1, 2, 3, 5, 15, 45, 135 et 270 sont des diviseurs de 270. Mais, 270 a d’autres diviseurs qu’on peut trouver en multipliant entre eux les diviseurs que nous avons déjà obtenus. Remarquez toutefois que :

\(270 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5\)

\(
\begin{array}{r|l}
270 & 2 \\
135 & 3 \\
45 & 3 \\
15 & 3 \\
5 & 5 \\
0 &
\end{array}
\)

On peut donc décomposer 270 en ses facteurs 2, 3 et 5, qui sont tous des facteurs premiers.
On conclut, des deux exemples précédents, que tout nombre composé est le produit de nombres premiers. Alors, pour décomposer un nombre en le produit de ses facteurs, il faut le diviser successivement par les nombres premiers qui sont inférieurs à ce nombre, en commençant par 2.

Ok ! tout ceci est bien beau mais à quoi ça peut nous servir ? Considérons la fraction \(24/270\), est-elle sous sa forme irréductible ? Rappelez-vous qu’une fraction est sous sa forme irréductible lorsqu’on ne peut plus diviser son numérateur et son dénominateur par un même nombre. Est-ce le cas pour la fraction \(24/270\) ? C’est là qu’intervient la décomposition en facteurs premiers. Grâce à elle, on peut savoir les diviseurs que 24 et 270 ont en commun et les supprimer du numérateur et du dénominateur car le division d’un nombre par lui-même se réduit à l’unité. Puisque nous avons déjà décomposé 24 et 270 en facteurs premiers, on peut donc écrire :

\(\frac{24}{270} = \frac{\mathbf{3} \times \mathbf{2} \times 2 \times 2}{\mathbf{2} \times \mathbf{3} \times 3 \times 3 \times 5}\)

On voit bien qu’on peut supprimer les nombres (en gras) 2 et 3 une seule fois en haut et en bas. Ce qui nous donne maintenant :

\(\frac{24}{270} = \frac{2 \times 2}{3 \times 3 \times 5} = \frac{4}{45}\)

Cette fois, nous sommes assurés que la nouvelle fraction obtenue, \(4/45\), ne peut plus être réduite. La fraction \(4/45\) est donc la fraction irréductible de \(24/270\).

Prenons maintenant la fraction \(355/1250\). En suivant le même procédé que précédemment, elle peut s’écrire sous la forme suivante :

\(\frac{15120}{19800} = \frac{2 \times 2 \times  2 \times 2 \times  3 \times 3 \times  3 \times 5 \times 7}{2 \times 2 \times  2 \times 3 \times  3 \times 5 \times  5 \times 11}\)

En règle général, pour décomposer un nombre en ses facteurs premiers, il faut le diviser successivement par les nombres premiers, en commençant par 2. À chaque division, on obtient un nouveau quotient ; la division suivante se fait en considérant ce quotient comme dividende. Lorsqu’on a choisi un nombre premier, on l’utilisa comme diviseur autant de fois qu’il est possible avant de passer au nombre premier suivant.

Cette tâche peut vite devenir très ardue si nous n’avons pas de techniques pour détecter rapidement la divisibilité d’un nombre quelconque par un nombre premier. En effet, chaque nombre premier a des propriétés particulières de divisibilité que nous allons voir à la prochaine section. Nous nous limiterons toutefois aux nombres 2, 3, 5 et 9.

La divisibilité par 2

Comment reconnaître qu’un nombre est divisible par 2 avant même de poser l’opération de division et de vérifier si on trouve un quotient exact ? Pour répondre à cette question, essayons d’analyser la suite infinie des multiples de 2 :

\(\mathbf{0},\ \ \mathbf{2},\ \ \mathbf{4},\ \ \mathbf{6},\ \ \mathbf{8},\ \ 1\mathbf{0},\ \ 1\mathbf{2},\ \ 1\mathbf{4},\ \ 1\mathbf{6},\ \ 1\mathbf{8},\ \ 2\mathbf{0},\ \ 2\mathbf{2},\ \ 2\mathbf{4},\ \ 2\mathbf{6},\ \ 2\mathbf{8},\ \ 3\mathbf{0},\ \ \ldots\)

Je vous invite à continuer cette suite autant que vous le désirez. Pour ma part, je m’arrête là afin que le chapitre ne soit pas infini. 😆
Dans cette suite, il faut d’abord remarquer que j’ai ajouté le nombre 0. Je l’ai ajouté car il est multiple de tous les nombres — tout nombre multiplié par 0 donne 0. Maintenant, observez bien cette suite. Que remarquez-vous ? Bien-sur ! Les chiffres en gras se répètent périodiquement. Ce sont les multiples de 2 qui sont composés d’un seul chiffre, 0, 2, 4, 6 et 8. Ces chiffres se retrouvent comme chiffres des unités dans tous les multiples de 2. Nous sommes donc obligés de conclure qu’un nombre est divisible par 2 lorsqu’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. C’est aussi simple que ça, il n’y a rien d’autre à savoir. Du coup, quelque soit la grandeur du nombre, on peut savoir s’il est divisible par 2 juste en regardant son chiffre des unités. Par exemple, 5414578 est divisible par 2 car il se termine par 8. De même, 712345621450 est divisible par 2 car il se termine par 0.

La divisibilité par 3

Procédons comme dans le cas du nombre premier 2. Dressons la suite des multiples de 3 :

\(\mathbf{0},\ \ \mathbf{3},\ \ \mathbf{6},\ \ \mathbf{9},\ \ 12,\ \ 15,\ \ 18,\ \ 21,\ \ 24,\ \ 27,\ \ 30,\ \ 33,\ \ 36,\ \ 39,\ \ 42,\ \ 45,\ \ \ldots\)

La première remarque que vous avez dû faire en observant cette suite, c’est que, contrairement au cas du nombre 2, les multiples à deux chiffres de 3 ne se terminent pas nécessairement en un des multiples à un chiffre de 3. Par exemple, le multiple 15 se termine en 5, or 5 n’est pas un multiple de 3. Il en est de même pour 21 qui se termine par 1 ou encore de 27 qui se termine par 7…

Essayons donc autre chose. Additionnons tous les chiffres des multiples qui ont au moins deux chiffres. Lorsqu’on trouve un résultat qui a également au moins deux chiffres, on additionne encore ses chiffres. On répète ce processus jusqu’à ce qu’on trouve un résultat à un seul chiffre.
Dans notre suite précédente, nous n’avons que des multiples à deux chiffres. Voici l’addition des chiffres de chacun de ces multiples de 3 :

\(
\begin{equation*}
\begin{split}
1 + 2 & = 3 \\
1 + 5 & = 6 \\
1 + 8 & = 9 \\
2 + 1 & = 3 \\
2 + 4 & = 6 \\
2 + 7 & = 9 \\
3 + 0 & = 3 \\
3 + 3 & = 6 \\
3 + 6 & = 9 \\
3 + 9 & = 12, \ \ 2 + 1 = 3 \\
4 + 2 & = 6 \\
4 + 5 & = 9
\end{split}
\end{equation*}
\)

Que remarquez-vous maintenant ? Tous les résultats sont des multiples (à un chiffre) de 3, c’est-à-dire 3, 6 et 9. Vous pouvez prolonger la suite infinie des multiples de 3 autant de fois que vous le voulez, mais remarquerez toujours la même chose. Par exemple, le nombre 8175 est divisible par 3 car \(8 + 1 + 7 + 5 = 21\) et \(2 + 1 = 3\).

On peut donc conclure qu’un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Cette règle est nécessairement un peu plus général que celle que nous appliquons en pratique.

Lorsque le nombre dont on veut étudier la divisibilité par 3 contient beaucoup de chiffres, on peut procéder un peu plus rapidement. Plutôt que de poser la somme de tous les chiffres et de réaliser l’addition en un coup, on peut réaliser l’addition par lot de chiffres. Dès qu’une addition partielle donne un nombre qui est multiple de 3, on peut l’éliminer et ne considérer que les additions suivantes. On peut même commencer par éliminer tous les chiffres qui sont multiples de 3, c’est-à-dire 0, 3, 6 et 9. Cela s’explique à cause de la propriété suivante :

Si un nombre est divisible par un autre, si on ajoute au premier nombre un nombre, un nombre qui est lui-même divisible par le deuxième nombre, l’addition obtenue est également divisible par le deuxième nombre. Par exemple, puisque 12 est divisible par 3 et que 6 est également divisible par 3, alors \(12+3\) (égal à 15) est également divisible par 3.

Revenons à notre nouvelle technique et appliquons-la à quelques exemples. Soit encore le nombre 8175, on voit qu’aucun de ses chiffres n’est multiple de 3, on va donc faire l’addition de ses chiffres mais cette fois deux à deux. On a \(8 + 1 = 9\), puisque 9 est multiple de 3, on élimine les chiffres 8 et 1. On fait maintenant \(7 + 5 = 12\) qui est également multiple de 3 donc le nombre 8175 est multiple de 3.
Soit le nombre 5968314. On peut déjà éliminer les chiffres 9, 6 et 3, il ne restera plus que les chiffres 5, 8, 1 et 4 à additionner. Puisque l’ordre de l’addition n’a pas d’importance, on peut commencer par faire \(8 + 1 = 9\), puisque 9 est multiple de 3, on élimine les chiffres 8 et 1. Il reste donc les chiffres 4 et 5, leur addition donne 9 qui est multiple de 3. On conclut donc que 5968314 est multiple de 3.

Vous voyez bien qu’à l’aide de cette nouvelle technique, nous pouvons vérifier très rapidement la divisibilité d’un nombre par 3.

La divisibilité par 5

Considérons la suite infinie des multiples de 5 :

\(\mathbf{0},\ \ \mathbf{5},\ \ 1\mathbf{0},\ \ 1\mathbf{5},\ \ 2\mathbf{0},\ \ 2\mathbf{5},\ \ 3\mathbf{0},\ \ 3\mathbf{5},\ \ 4\mathbf{0},\ \ 4\mathbf{5},\ \ 5\mathbf{0},\ \ 5\mathbf{5},\ \ 6\mathbf{0},\ \ 6\mathbf{5},\ \ \ldots\)

Ça saute aux yeux que tous les multiples de 5 se terminent par 0 ou par 5. Un fois encore, si vous en doutez (et c’est la meilleure manière d’apprendre), vous pouvez continuer cette suite autant de fois que vous le souhaiter, vous verrez que les multiples que vous trouverez se terminent par 0 ou par 5. On sait donc que 24575 et 4541258970 sont divisibles par 5, et que 45511 et 7874553202 ne le sont pas.

La divisibilité par 9

Dressons la suite des multiples de 9 :

\(\mathbf{0},\ \ \mathbf{9},\ \ 18,\ \ 27,\ \ 36,\ \ 45,\ \ 54,\ \ 63,\ \ 72,\ \ 81,\ \ 90,\ \ 99,\ \ 108,\ \ 117,\ \ 126,\ \ 135,\ \ \ldots\)

Comme nous l’avons fait avec 3, additionnons les chiffres des multiples de 9 qui ont au moins deux chiffres :

\(
\begin{equation*}
\begin{split}
1 + 8 & = 9 \\
2 + 7 & = 9 \\
3 + 6 & = 9 \\
4 + 5 & = 9 \\
5 + 4 & = 9 \\
6 + 3 & = 9 \\
7 + 2 & = 9 \\
8 + 1 & = 9 \\
9 + 0 & = 9 \\
9 + 9 & = 18, \ \ 1 + 8 = 9 \\
1 + 0 + 8 & = 9 \\
1 + 1 + 7 & = 9 \\
1 + 2 + 6 & = 9 \\
1 + 3 + 5 & = 9 \\
\end{split}
\end{equation*}
\)

Ça saute aux yeux qu’un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est égale à 9 (ou est un multiple de 9). Ainsi, les nombres 10935 et 1476225 sont multiples de 9. Je vous laisse le soin de vérifier.  😉

Rendre des fractions au même dénominateur : Nouvelle vue

Dans la section sur l’addition des fractions, j’ai promis de vous montrer une technique pour rendre des fractions au même dénominateur lorsque l’un des dénominateurs de celles-ci est multiples de l’autre dénominateur. Voici le moment tant attendu.

Lorsqu’on décompose chaque dénominateur en facteurs premiers, on voit immédiatement que l’un est multiple de l’autre si tous les facteurs de l’un apparaissent dans les facteurs de l’autre. Si c’est le cas, pour rendre ces fractions au même dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction qui a le plus petit dénominateur, par le produit des facteurs du dénominateur de l’autre fraction qui n’apparaissent pas dans cette fraction.

Prenons un exemple pour clarifier cette technique. Soit à additionner les fractions \(3/8\) et \(7/24\). Le dénominateur de la première fraction se décompose en \(2 \times 2 \times 2\) et celui du second se décompose en \(2 \times 2 \times 2 \times 3\). Le deuxième dénominateur est donc multiple du premier car les deux dénominateurs ont \(2 \times 2 \times 2\) comme facteur commun. Le second dénominateur est donc égal à 3 fois le premier. Pour rendre les fractions au même dénominateur, on multiplie donc le numérateur et le dénominateur de la première fraction, c’est-à-dire \(3/8\), par 3. On obtient la fraction \(9/24\). On peut maintenant additionner \(9/24\) et \(7/24\) et on obtient \(16/24\).

\(
\begin{equation*}
\begin{split}
\frac{3}{8} + \frac{7}{24} & = \frac{3}{2 \times 2 \times 2} + \frac{7}{2 \times 2 \times 2 \times \mathbf{3}} \\
& = \frac{3 \times \mathbf{3}}{2 \times 2 \times 2 \times \mathbf{3}} + \frac{7}{2 \times 2 \times 2 \times 3}\\
& = \frac{9}{24} + \frac{7}{24}\\
& = \frac{16}{24}
\end{split}
\end{equation*}
\)

Veillez à mettre cette dernière fraction sous sa forme irréductible. Vous devez trouver \(2/3\).

Avec toutes ses propriétés en poche, vous êtes maintenant capables de décomposer tout nombre en facteurs premiers. Je vous invite à construire des nombres au hasard et à les décomposer en facteurs premiers. Ne continuer pas avant d’avoir fait cet exercice. C’est vraiment en vous exerçant avec des objets créés par vous-mêmes, que vous deviendrez des initiés. Alors, cher(e)s pèlerin(e)s, à vos stylos ! 🙂

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