1.8. Les nombres fractionnaires et les fractions (2)


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Il l’aimait bien mais à petites doses. Il fractionnait son cœur comme des parts de gâteau — Pascal Bruckner, La maison des anges.

Dans le monde moderne abandonné par la philosophie, fractionné par des centaines de spécialisations scientifiques, le roman nous reste comme le dernier observatoire d’où l’on puisse embrasser la vie humaine comme un tout — Milan Kundera, Le rideau.

Dans cette deuxième partie consacrée aux nombres fractionnaires et aux fractions, nous verrons d’abord de nouvelles propriétés liées à la divisibilité des nombres, certaines seront certainement des redites du chapitre précédent mais elles sont importantes pour le présent chapitre. Ensuite, nous étudierons quelques procédés liés à la détermination des diviseurs d’un nombre et des diviseurs qu’il a en commun avec un autre nombre. Tout comme le précédent chapitre, ce chapitre promet d’être assez dense, donc soyez concentrés. N’abordez pas ce chapitre en étant fatigués. Si vous l’êtes, reposez-vous bien et revenez. Alors, commençons ! 🙂

Quelques propriétés supplémentaires

1. Lorsqu’un nombre est divisible par un autre, tous les multiples du premier sont également divisibles par le second.

Cette propriété est vraiment une conséquence de la définition du multiple d’un nombre. En effet, si un nombre (le premier) est divisible par un autre (le second), alors il est multiple de ce dernier. Ainsi, si on multiplie le premier nombre par un nombre quelconque, on obtient un produit qui est encore multiple du premier nombre et donc du second.

Par exemple, 24 est divisible par 8 (\(24 \div 8 = 3\)). Si on multiplie 24 par 5, on obtient 120 qui est également divisible par 8 (\(120 \div 8 = 15\)). Mais, sans même calculer \(24 \times 5\), on pouvait prévoir que ce produit serait divisible par 8 puisqu’il est multiple de 24, tout comme 8 l’est.

\(\require{cancel}\frac{24 \times 5}{8} = \frac{120}{8} = \frac{\bcancel{8} \times 3 \times 5}{\bcancel{8}} = \frac{3 \times 5}{1} = 3 \times 5 = 15\)

Vous voyez que nous avons barré 8 au numérateur et au dénominateur, car même si 24 est multiplié par 5, 8 demeure un facteur du produit obtenu.

2. Deux facteurs plus petits qu’un nombre premier ne peuvent former un produit qui est divisible par ce nombre.

Cette propriété est évidente en soi, car pour qu’un nombre divise un autre, il faut que tous ses facteurs se retrouvent dans le second. Or si deux nombres sont plus petits qu’un troisième qui est un nombre premier, aucun de ces nombres ne peut être divisible par ce troisième. Leur produit ne peut pas non plus être divisible par le troisième. Car si ça l’était, ça voudrait dire que le fait de multiplier les deux nombres a généré un nombre premier, ce qui est impossible en vertu de la définition de la définition d’un nombre premier. Je le rappelle, un nombre premier n’a d’autres diviseurs que lui-même et 1. Vous pouvez objecter en disant : “Ah ! mais donc ce sont ces diviseurs qui sont les nombres initiaux.” Cela ne peut pas être non plus le cas car notre hypothèse de départ dit que les deux nombres doivent être plus petits que le troisième. Quoique 1 satisfasse l’hypothèse, le deuxième nombre ne la satisfera jamais car il sera toujours égal au troisième.

Par exemple, 2 et 8 sont plus petits que le nombre premier 11. Alors, aucun des deux n’est divisible par 11. Leur produit 16 (\(2 \times 8 = 16\)) n’est pas non plus divisible par 11, car s’il l’était, on aurait pu le décomposer en facteurs dont 11 fait partie. Ce qui est impossible car ça voudrait dire qu’on a pu générer 11 en multipliant deux facteurs quelconques de 2 et 8.

3. La conséquence directe de la propriété précédente est qu’un produit ne peut être divisible par un nombre premier que si l’un des facteurs est lui-même divisible par ce nombre.

Par exemple 52 fois 5 est divisible par le nombre premier 13 car 52 est divisible par 13 (\(52 = 13 \times 4\)).

4. Il n’y a qu’un seul ensemble de facteurs premiers qui peuvent générer un nombre.

Par exemple, \(3780 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7\). Les facteurs premiers de 3780 sont donc 2, 3, 5 et 7. Je dis donc que 3780 ne peut être généré par un autre ensemble de nombres premiers. Prenons le produit \(3 \times 7 \times 11\), on ne peut pas dire que \(2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 = 3 \times 7 \times 11\), car ça vaudrait dire \(2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7\) est multiple de 11. Ce qui est impossible car il faudrait pour cela, soit que 11 apparaisse dans ce produit, soit qu’il puisse être généré par le produit de certains facteurs. Les deux cas sont impossibles car 11 est un nombre premier.

Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre ?

Trouver tous les diviseurs d’un nombre est un problème différent de celui de trouver les facteurs premiers d’un nombre. Mais le second permet de résoudre le premier. Nous allons voir ici un procédé permettant d’y arriver.

Soit à chercher tous les diviseurs de 3780, on sait que ce nombre ne décompose comme suit \(3780 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7\). On obtient donc tous ses diviseurs en combinant entre eux ces quelques diviseurs. Par exemple, \(2 \times 2 \times 3 = 12\) est donc un diviseur de 3780. De même, \(2 \times 3 \times 5 = 30\) est aussi un diviseur de 3780. Vous vous doutez bien qu’on peut obtenir un grand nombre de diviseurs et que si on n’a pas un procédé plus rapide, nous sommes dans la merde ! 😆
Pas de panique ! j’ai ce qu’il faut et c’est une technique assez simple.

D’abord, nous savons que 1 est un diviseur trivial de 3780. Puisque le facteur premier 2 apparaît deux fois, on forme l’ensemble \(\{1, 2, 2 \times 2\}\) ou \(\{1, 2, 4\}\). Le facteur 3 apparaît trois fois, on a donc l’ensemble \(\{1, 3, 3 \times 3, 3 \times 3 \times 3\}\) ou \(\{1, 3, 9, 27\}\). Les facteurs 5 et 7 apparaissent une seule fois, on a les ensembles \(\{1, 5\}\) et \(\{1, 7\}\). On trouve tous les diviseurs de 3780 en multiplier ces quatre ensembles :

\(\{1, 2, 4\} \times \{1, 3, 9, 27\} \times \{1, 5\} \times \{1, 7\}\)

Cette opération s’appelle produit cartésien. Nous l’étudierons plus en détail en Algèbre. Les figures ci-dessous montrent comment calculer ce produit.

Illustration du produit cartésien

Illustration du produit cartésien

Table de calcul des diviseurs de 3780

Table de calcul des diviseurs de 3780

Les résultats des sous-produits constituent les diviseurs de 3780. On voit bien que les diviseurs triviaux 1 et 3780 en font partie.

Détermination du plus grand commun diviseur : Algorithme

Le savant grec Euclide s’était posé le problème suivant :

Étant donnés deux segments de droite, déterminer la plus grande unité, commune à ces segments, permettant de les découper en parts égales.

La figure ci-dessous illustre ce problème. Le segment nommé unité est considéré comme le plus grand divisant entièrement les deux segments en parts égales. Il divise le plus grand segment en 6 parts et le plus petit en 3 parts.

Plus grande unité qui divise deux segments en parts égales

Plus grande unité qui divise deux segments en parts égales

C’est un problème de Géométrie mais qui est également classique en Arithmétique. Il suffit juste de considérer les segments comme des quantités, donc comme des objets mesurables. Ce problème se traduit, en science des nombres, comme suit :

Étant donnés deux nombres, déterminer le plus grand diviseur commun à ces nombres.

Comment donc déterminer le plus grand commun diviseur ou pgcd de deux nombres ? La réponse la plus évidente, c’est de trouver tous les diviseurs de chacun des deux nombres, d’identifier les diviseurs qu’ils ont en commun et de déterminer le plus grand de ces diviseurs. Quoique cette méthode soit valide et indéniablement correcte, elle est fastidieuse. L’exemple de la détermination de tous les diviseurs de 3780 le démontre. Nous devons donc trouver un algorithme plus rapide. Commençons d’abord par raisonner en utilisant nos connaissances actuelles.

Considérons deux nombres différents. S’ils ont un diviseur commun, alors ce diviseur est plus petit ou égal au plus petit des deux nombres. En effet, si le diviseur est plus grand que l’un des deux nombres, alors il ne peut être diviseur de ce nom ; il n’est donc pas leur diviseur commun. Le plus grand commun diviseur est donc égal plus petit ou égal au plus petit des deux nombres. C’est le plus grand des diviseurs qu’ils ont en commun. Ainsi, pour déterminer le pgcd, on doit d’abord considérer le plus petit des deux nombres comme étant le pgcd temporaire.
S’il divise l’autre nombre, alors ce pgcd est le pgcd recherché et nous avons résolu le problème. Sinon, la division des deux nombres admet un reste. Nous avons donc maintenant trois nombres :  Le plus grand, le plus petit (considéré comme pgcd initial) et le reste. Avant de continuer, énonçons ici une propriété importante : le reste de la division de deux nombre est toujours plus petit que le diviseur.
La relation qui lie nos trois nombres est la suivante :

\(\mathbf{\text{dividende}} = \mathbf{\text{diviseur}} \times \text{quotient} + \mathbf{\text{reste}}\)

Remarquez que puisque le dividende est la somme de deux nombres et que le diviseur commun doit le diviser et diviser le diviseur, alors il doit nécessairement diviser le reste. Notre problème se réduit donc à rechercher le pgcd du diviseur et du reste, car nous sommes assurés que ce pgcd divisera aussi le dividende initial. On pourrait légitimement demander pourquoi on ne considère pas plutôt le quotient comme prochain pgcd temporaire. Mais, le quotient étant également plus grand que le reste, il ne pourrait le diviser.
À ce stade, nous avons un nouveau pgcd temporaire, qui devient le nouveau diviseur, et un nouveau dividende, qui était le diviseur du problème précédent. Comme dans le cas précédent, on vérifie que ce pgcd divise le dividende et le diviseur. Si c’est le cas, alors il est le pgcd qu’on recherche et notre problème est résolu. Sinon, le reste de la division est notre nouveau pgcd temporaire.
On répète la même procédure jusqu’à ce qu’on trouve le pgcd et il en existe toujours un.  Au pire des cas, le pgcd sera le nombre 1.

Prenons maintenant un exemple pour voir concrètement comment trouver le pgcd. Soit à trouver le pgcd des nombres 45 et 5. Puisque 5 divise 45 (\(45 \div 5 = 9\)), 5 est alors le pgcd recherché. Soit à déterminer le pgcd de 64 et 11. Disposons le calcul comme suit :

\(
\begin{array}{rr|r|r|r}
\text{dividende} & 64 & 11 & 9 & 2 \\
\text{pgcd partiel} & 11 & 9 & 2 & \mathbf{1} \\ \hline
\text{reste}  & 9 & 2 & 1 & 0
\end{array}
\)

Dans cette disposition, on met le dividende au-dessus du pgcd partiel, et le reste est complètement en bas, séparé des deux premiers par une ligne horizontale. Le reste d’une division précédente devient le pgcd partiel de la division suivante, et le diviseur devient le dividende. Le pgcd recherché est le pgcd partiel de la division qui donne un reste nul. Dans le cas précédent, le nombre 1 est donc le pgcd de 64 et 11.

Soit à déterminer le pgcd de 312 et 132. On pose le calcul comme précédemment :

\(
\begin{array}{rr|r|r|r}
\text{dividende} & 312 & 132 & 48 & 36 \\
\text{pgcd partiel} & 132 & 48 & 36 & \mathbf{12} \\ \hline
\text{reste}  & 48 & 36 & 12 & 0
\end{array}
\)

12 est donc le pgcd de 312 et 132.

Cherchons finalement le pgcd de 2961 et 799.

\(
\begin{array}{rr|r|r|r|r}
\text{dividende} & 2961 & 799 & 564 & 235 & 94 \\
\text{pgcd partiel} & 799 & 564 & 235 & 94 & \mathbf{47} \\ \hline
\text{reste}  & 564 & 235 & 94 & 47 & 0
\end{array}
\)

47 est le pgcd de 2961 et 799.

Voici l’algorithme pour déterminer le pgcd de deux nombres :

  1. On divise le plus grand nombre (dividende) par le plus petit (diviseur). Si on obtient un quotient exact, alors le plus petit nombre est le pgcd recherché.
  2. Sinon si la division admet un reste, ce reste est considéré comme nouveau diviseur (pgcd temporaire) et le précédent diviseur est maintenant dividende et on reprend la procédure au point 1).

Vous voyez bien que cet algorithme est bien plus rapide que d’énumérer tous les diviseurs de chacun des nombres et de choisir le plus grand. Voici quelques remarques :

  • le pgcd partiel diminue à chaque division. Cela confirme que nous arriverons forcément à un pgcd et ça sera le nombre 1, au pire des cas.
  • le pgcd partiel obtenu à une étape divise nécessairement tous les précédents pgcd partiels. Ainsi, si à certaine étape, on obtient un nombre premier comme pgcd partiel et que ce nombre ne divise pas au moins un pgcd partiel précédent, alors le pgcd recherché est l’unité. Par exemple, lorsqu’on recherchait le pgcd de 64 et 11, nous avions obtenu le nombre 2 à la deuxième division. C’est un nombre premier. Et puisqu’il ne divise pas le pgcd partiel précédent, c’est-à-dire 9, alors on aurait pu arrêter la procédure et conclure que 1 est le pgcd recherché.
  • Pour obtenir tous les diviseurs communs à deux nombres, il suffit de trouver tous les diviseurs du pgcd de ces deux nombres.

Cette deuxième partie sur les fractions s’arrête ici, nous avons vu de nouvelles propriétés des fractions et de la divisibilité des nombres. Nous avons également vu un nouvel algorithme : le pgcd de deux nombres. C’est également un algorithme classique en informatique. Nous le traduirons donc, dans un prochain, en langage Racket.

Comme je le dis à la fin de chaque chapitre, exercez-vous en générant des exemples par vous-mêmes. Vous apprendrez plus rapidement de cette façon. Je donnerai des problèmes à différentes étapes de ce voyage initiatique, mais vous devez impérativement mettre vos mains dans le cambouis afin d’être des initiés complets ! 😉

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