1.9. Les nombres fractionnaires et les fractions (3)

Le dégoût des maths vient souvent d’un manque de connaissances de base. Trop d’élèves possèdent mal la table de multiplication ou les opérations de fractions. C’est pour eux un handicap terrible, face à des professeurs qui ont facilement tendance à ne s’intéresser qu’à l’élite de la classe — Jean-Charles, La Foire aux cancres.

Dans toute statistique, l’inexactitude du nombre est compensée par la précision des décimales — Alfred Sauvy.

Ce chapitre est le dernier sur les fractions. Nous parlerons ici d’un type de fractions appelées fractions décimales, de sa nature, de raison d’être et de comment leur appliquer les opérations élémentaires d’arithmétique. Commençons donc sans plus tarder !

De la nature et de la raison d’être des fractions décimales

Les fractions décimales sont nées de la volonté de représenter certains types de fractions sous une forme plus compacte qui se rapproche de celle des nombres entiers. Il s’agit des fractions dont le dénominateur est 10, 100, 1000, 10000, etc. Par exemple \(5/10\) et \(13/1000\) sont des fractions décimales. Comme nous le verrons plus tard, ces fractions interviennent tellement dans les opérations que nous sommes convenus, dans notre système de numération décimale, de leur accorder une représentation spéciale. Voici comment nous avons décidé de représenter ces nombres.

Dans notre représentation des nombres entiers naturels, la position de chaque chiffre spécifie son importance dans le nombre. Dans un nombre à plusieurs chiffres, un chiffre quelconque est dix (10) fois supérieur au chiffre qui est immédiatement à droite de lui, mais il est dix (10) fois inférieur au chiffre qui est immédiatement à gauche de lui. De même, ce chiffre est cent fois supérieur au chiffre qui est immédiatement à droite du chiffre qui est immédiatement à droite de lui. Et ainsi de suite. On a dit que les chiffres de droite sont d’un rang (ou d’une octave) inférieur, et que les chiffres de gauche sont d’un rang (ou d’une octave) supérieur.

Considérons, par exemple, le nombre 53142. Nous avons vu qu’il peut s’écrire comme suit :

\(53142 = 50000 + 3000 + 100 + 40 + 2 = 5 \times 10000 + 3 \times 1000 + 1 \times 100 + 4 \times 10 + 2\)

Le chiffre 5 a le rang le plus important, il est 10 fois plus important que le chiffre 3, 100 fois plus important que le chiffre 1, 1000 fois plus important que le chiffre 4 et 10000 fois plus important que le chiffre 2. La réalité est inverse est dans le cas des fractions décimales. Plus le dénominateur du chiffre contient des zéros, moins est l’importance de ce chiffre. Par exemple, considérons le nombre représenté par :

\(\frac{5}{10000} + \frac{3}{1000} + \frac{1}{100} + \frac{4}{10} + 2 \)

Dans ce nombre, 5 est 10000 fois moins important que 2, 1000 fois moins important que 4, 100 fois moins important que 1 et 10 fois moins important que 3.

Pour représenter les fractions décimales, plutôt que de mettre les zéros à la fin du chiffre, on les place au début… Ah ha ! mais ce n’est évidemment pas tout sinon il est évident qu’on aurait le même chiffre puisque 00005 est égal à 5, les zéros n’ayant aucune importance quand ils sont placés à gauche d’un nombre entier. Alors, pour préciser qu’il s’agit d’un nombre différent, on a décidé de mettre une virgule (,) après le premier zéro. Donc les fractions décimales \(5/10000\) (cinq dix millièmes), \(3/1000\) (trois millièmes), \(1/100\) (un centième) et \(4/10\) (quatre dixièmes) sont représentées par \(0,0005\), \(0,003\), \(0,01\) et \(0,4\), respectivement.

Si au lieu d’un chiffre, nous avons un nombre à plusieurs chiffres au numérateur, on compte les chiffres de droite à gauche et dès qu’on arrive au chiffre dont la position est égal au nombre de zéros, on s’arrête là et on place la virgule à gauche de ce nombre. Par exemple, le dénominateur de \(\frac{2547}{1000}\) (deux mille cinq cent quarante cinq millièmes) à trois zéros. Donc on compte trois chiffres, de droite à gauche, en commençant par 7. Le troisième chiffre étant 5, on place la virgule de 5 et on a donc 2,547. De même, \(\frac{45}{10} = 4,5\) (quarante cinq dixièmes). S’il y a moins de chiffres dans le nombre du numérateur qu’il n’y a de zéros au dénominateur, alors il faut ajouter des zéros autant de fois qu’il le faut. Par exemple : \(\frac{34582}{1000000} = 0,034582\) (trente quatre mille cinq cent quatre-vingt-deux millionièmes), \(\frac{12}{100000} = 0,00012\) (douze cent-millièmes).

Il convient de remarquer que dans le système anglo-saxon, le point (.) est utilisé en lieu et place de la virgule. Et puisque l’informatique a adopté ce système depuis le début, tous les ordinateurs et calculateurs électroniques utilisent le point plutôt que la virgule. Nous allons donc faire de même dans la suite. Au lieu donc d’écrire \(0,0005\), j’écrirai \(0.0005\). Cette remarque est extrêmement importante car en programmation, la virgule a des significations différentes en fonction du langage.
Toutefois, lorsque vous écrivez à la main, vous pourriez trouver plus aisé d’utiliser la virgule, alors utilisez-là, d’autant plus que c’est ce qu’on utilise à l’écrit à l’école. Mais, mettons-nous d’accord que c’est uniquement lorsque vous écrivez à la main et uniquement en mathématique. Même à la main, vous devez employer le point pour représenter les fractions décimales qui apparaissent dans les programmes informatiques.

On peut de même passer, avec la même facilité, de la représentation avec virgule (ou point) à la représentation sous forme de fraction. Par exemple, on souhaite représenter 0.0154 sous forme de fraction. C’est la fraction dont le numérateur est le nombre entier obtenu quand on supprime tous les zéros à gauche et à droite et dont le dénominateur est constitué du chiffre 1 suivi du nombre du nombre de chiffres après la virgule (ou le point). Ainsi, 0.0154 est représenté par \(\frac{154}{10000}\). De même 12.057 est équivalent à \(\frac{12057}{1000}\).

Notez que de même que les zéros placés à gauche d’un nombre entier non aucune importance (0000012 est égal à 12), les zéros placés à droite d’une fraction décimale (dans sa représentation à virgule) n’ont aucune importance. Ils peuvent donc être supprimés. Par exemple 0.012470000 est équivalent à 0.01247.

Des opérations élémentaires sur les fractions décimales

Nous n’énoncerons aucune nouvelle règle car les opérations sur les fractions décimales ne diffèrent de ceux des entiers sur la forme. En effet, la seule précaution à prendre, c’est de bien disposer les termes de l’opération selon leur rang. Dans le cas de l’addition, de la soustraction et de la multiplication, cela se fait facilement en disposant les virgules (ou points) les unes sous les autres, car la position des autres chiffres se déduit immédiatement.

Cas de l’addition

Voici quelques exemples :

\(
\begin{array}{r}
\phantom{0}~\phantom{0}~1~7~2.5~\phantom{0}~\phantom{0}\\
+~\phantom{0}~\phantom{0}~2~3.6~3~\phantom{0}\\
+~5~6~3~1.0~0~3\\ \hline
=~5~8~2~7.1~3~3
\end{array}
\)
\(
\begin{array}{r}
\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~0.0~0~3~2~5\\
+~\phantom{0}~2~3.4~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}\\
+~1~3~2.5~6~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}\\
+~\phantom{0}~\phantom{0}~1.2~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}\\ \hline
=~1~5~7.1~6~3~2~5
\end{array}
\)

Cas de la soustraction

Dans le cas de la soustraction, si le premier terme a moins de chiffres après la virgule que le second terme, il faut ajouter autant de zéros nécessaires, à la fin du premier terme, pour avoir le même nombre de chiffres. Par exemple, on poserait la soustraction de 231.4 et de 85.321 comme suit :

\(
\begin{array}{r}
\phantom{0}~2~3~1.4~\mathbf{0}~\mathbf{0}\\
-~\phantom{0}~8~5.3~2~1\\ \hline
=~1~4~6.0~7~9
\end{array}
\)

Nous avons ajouté deux zéros à la fin de 213.4 pour obtenir 213.400. Et comme nous l’avons dit précédemment, ça ne change rien au nombre initial. Toutefois, sa dénomination change. Au lieu de deux mille cent treize dixièmes, on dit maintenant deux cent treize mille quatre cent millièmes.

Cas de la multiplication

Dans le cas de la multiplication, on réalise l’opération comme si les nombres étaient des entiers naturels. Le nombre de chiffres que le produit obtenu aura après la virgule (ou le point) est égal à la somme des nombres de chiffres décimaux (un chiffre décimal ou une décimale est un chiffre situé après la virgule) de chaque terme. Et pourquoi ? Parce que :

Lorsqu’on multiplie une fraction décimale par 10, 100, 1000, …, on déplace la virgule de la gauche vers d’autant de nombres qu’il y a de zéros dans le multiplicateur. Si le nombre de décimales de la fraction décimale est inférieure au nombre de zéros, on ajoute un zéro à chaque déplacement de la virgule.

En effet, quand je dis qu’on considère les fractions décimales comme des entiers naturels, c’est juste un raccourci pour effectuer l’opération rapidement. Sinon, pour obtenir un nombre entier à partir d’une fraction décimale, on multiplie cette dernière par l’octave de 10 qui correspond au nombre de décimales qu’elle contient. Par exemple, puisque la fraction décimale 0.1245 contient quatre décimales, il faut la multiplier par la quatrième octave de 10, c’est-à-dire 10000, et on obtient 1245.
Ainsi, c’est parce qu’on multiplie chaque terme de la multiplication par l’octave de 10 correspondant à son nombre de décimales, qu’on divise le produit obtenu par l’octave de 10 correspondant à la somme des nombres de décimales des termes. Rappelez-vous que diviser un nombre entier par une octave de 10, c’est déplacer la virgule de droite à gauche autant de fois qu’il y a d’octave. L’explication étant ainsi donnée, passons à des exemples de multiplication de fractions décimales.

Soit à multiplier 254.451 par 32.55. On sait avant d’effectuer le calcul que le produit de 254.451 (trois chiffres après la virgule) par 32.55 (deux chiffres après la virgule) aura cinq (\(3 + 2\)) chiffres après la virgule. En fait, on place la virgule de sorte qu’il y ait 5 chiffres après elle.

\(
\begin{array}{r}
\phantom{0}~2~5~4.\mathbf{4}~\mathbf{5}~\mathbf{1}\\
\times~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~3~2.\mathbf{5}~\mathbf{5}~\phantom{0}\\ \hline
\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~1~2~~7~2~2~5~5\\
\phantom{0}~\phantom{0}~1~2~7~~2~2~5~5~\phantom{0}\\
\phantom{0}~\phantom{0}~5~0~8~~9~0~2~\phantom{0}~\phantom{0}\\
\phantom{0}~7~6~3~3~~5~3~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}\\ \hline
=~8~2~8~2.~3~8~0~0~5
\end{array}
\)

Il peut arriver des fois où le produit obtenu a moins de chiffres que la somme des nombres de décimaux des termes de la multiplication. Dans ce cas, il faut ajouter à gauche du produit autant de zéros qu’il est nécessaire pour avoir le nombre de chiffres désiré après la virgule. Par exemple, soit à multiplier 13.72 (2 chiffres après la virgule) par 0.00051 (4 chiffres après la virgule). On sait déjà que le produit doit avoir 6 (\(2 + 4\)) chiffres après la virgule. En ignorant les virgules, on fait 1372 fois 51 et on trouve 69972. Ce produit n’a que 5 chiffres, donc on ajoute un zéro à gauche de 6, on place la virgule à gauche de ce zéro et on ajoute un dernier zéro à gauche de la virgule. Ce qui donne 0.069972.

\(
\begin{array}{r}
\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~1~3.7~2~\phantom{0}~\phantom{0}\\
\times~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~0.0~0~5~1\\ \hline
\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~1~3~7~2\\
\phantom{0}~\phantom{0}~\phantom{0}~6~8~6~0~\phantom{0}\\ \hline
=~0.0~6~9~9~7~2
\end{array}
\)

Cas de la division

Soit à diviser 4.365 par 0.3. Comme dans les autres, on ramène les termes à des entiers. Pour ce faire, puisque le dividende 4.365 contient trois chiffres décimaux, on le multiplie par 1000 et on obtient 4365. Le diviseur 0.3 contient, quant à lui, un seul chiffre décimal donc on le multiplie par 10 et on obtient 3. On divise maintenant 4365 par 3 et on obtient 1455. On va maintenant chercher à positionner la virgule. Puisqu’on a multiplié le numérateur par 1000, on doit diviser le quotient par 1000 et multiplier le quotient par 10 puisqu’on a multiplié le dénominateur par 10 :

\(1455 \times \frac{10}{1000} = 1455 \times \frac{1}{100} = \frac{1455}{100} = 14.55\)

On remarque que finalement diviser 1455 par 1000 et le multiplier par 10, revient à le diviser par 100. En général, le nombre de décimales du quotient est égal au nombre d’octave de 10 par lequel on multiplie le dividende décimales du dividende moins le nombre d’octave de 10 par lequel on multiplie le diviseur. Dans l’exemple précédent 1000 correspond à trois (3) octaves de 10 et 10 correspond à une (1) octave de 10, on a donc \(3 – 1 = 2\). Le quotient aura donc deux décimales.

Il peut arriver qu’après avoir multiplié le dividende et le diviseur par le nombre correspondant d’octave de 10, le nombre de chiffres du dividende soit inférieur au nombre de chiffres du diviseur. En pareille circonstance, il faut encore multiplier le dividende par autant d’octave de 10 qui faut pour que le dividende soit supérieur au diviseur. Soit, par exemple, à diviser 6.1 par 2.623. Bien qu’on arrive à éliminer les décimales en multipliant 6.1 par 10 et 2.623 par 1000, on obtient un dividende, 61, qui a deux chiffres de moins que le diviseur, 2623. Dans ce cas, il faut encore multiplier le dividende par deux octaves de 10, donc par 100, et on obtient 6100. En tout, nous avons multiplié 6.1 par 1000 (3 zéros) et 2.623 par 1000 (3 zéros également) donc le quotient qu’on obtient restera intact (\(3 – 3 = 0\). 6100 divisés par 2623 donne 2 comme quotient et 854 comme reste. Un instant ! nous n’avons pas encore traité le cas du reste de la division. Nous allons le faire maintenant.

Dans le chapitre précédent, nous avons dit que la relation qui existe entre le dividende, le diviseur, le quotient et le reste est la suivante :

\( \text{dividende} = \text{diviseur} \times \text{quotient} + \text{reste}\)

Si on multiplie le dividende par un nombre, alors on multiplie chaque terme de l’addition par le même nombre. De ce fait, puisque, dans l’exemple précédent, nous avons multiplié le dividende, 6.1, par 1000, nous avons également multiplié le reste par 1000, ce qui nous a donné 854. Pour avoir le véritable reste, on doit donc divisé 854 par 1000, ce qui donne 0.854. Facile, n’est-ce pas ?

Maintenant que nous avons introduit la représentation à virgule des fractions décimales, ne nous arrêtons en si bon chemin. Poussons un peu plus nos investigations. En effet, lorsqu’on définissait les nombres fractionnaires dans la première partie du cours sur les fractions, nous avons dit qu’on pouvait trouver un quotient exact à toute division, sauf que celui-ci ne serait pas un nombre entier mais qu’il serait un nombre entier plus une fraction de l’unité. En effet, cette fraction de l’unité est une fraction décimale. Comment donc la détermine-t-on ? C’est le but de la section suivante.

De la détermination d’un quotient sous forme de fraction décimale

Jusqu’à maintenant, à chaque que nous avons divisé un nombre par un autre, lorsque la division n’admettait pas de quotient, nous nous arrêtions au quotient entier. En fait, nous faisions ainsi parce que nous ne connaissions pas les fractions décimales. En effet, on aurait pu continuer la division jusqu’à trouver un reste nul ou jusqu’à un jusqu’au quotient qui nous convient. Il suffit juste de placer une virgule (ou un point) à droite du dernier quotient partiel, de continuer la division et d’ajouter de nouveaux quotients partiels. Vous vous demandez certainement comment on peut continuer la division puisqu’il n’y a plus de chiffre du dividende à faire descendre (pour ceux qui auraient oublié l’algorithme de la division, revoyez-le ici). La réponse est simple : par l’ajout d’autant de zéros, à droite du dividende, que l’on veut le quotient ait de décimales.

Proposons-nous de diviser 486 par 24. Si on procède tel qu’on a toujours fait, on obtient un quotient de 20 et un reste de 6. À ce stade de la division, il n’y a plus de chiffre du dividende, 486, à faire descendre, on met donc un zéro à droite de 486 et on fait ce zéro descendre à côté du reste et on continue la division. On a donc maintenant 60 comme dividende partiel. 60 divisés par 24 donnent 2 comme quotient partiel et un reste de 12. On met une virgule (ou un point) à droite de 20 et on place 2 à droite de cette virgule, ce qui fait 20.2. On continue la division en mettant un nouveau zéro à droite du dividende 4860, ce qui fait 48600, et on fait descendre ce zéro à droite du précédent reste, 12, et on obtient 120 comme dividende partiel. 120 divisés par 24 donnent 5 et un reste nul. Donc la division s’arrête là et le quotient recherché est 20.25.

Dans l’exemple précédent, nous avons effectué la division jusqu’à obtenir un reste nul. Ce n’est cependant pas toujours le cas. Voici un exemple. Soit à diviser 5340 par 7. On obtient d’abord un quotient de 762 et un reste de 6. On place un zéro à droite de ce reste, ce qui donne 60 comme dividende partiel. 60 divisés par 7 donnent 8 comme quotient et un reste de 4. Le quotient global devient 762.8. On place un nouveau zéro à gauche du reste précédent, c’est-à-dire 4, et on obtient 40 comme dividende partiel. 40 divisés par 7 donnent 5 comme quotient et 5 comme reste. Le quotient global devient 762.85. Continuez jusqu’à la vingtième décimale. Vous devez obtenir un quotient global de 762.85714285714285714285. Vous pourriez continuer cette division indéfiniment mais elle ne prendra jamais fin. Abandonnons donc et analysons ce quotient. Que remarquez-vous ? Vous avez bien vu. Un certain nombre de chiffres décimaux se répètent encore et encore. On appelle ce type de fractions décimales des fractions périodiques. La période étant le nombre qui se répète. Dans notre exemple, 857142 est donc la période. Dans l’Algèbre, nous verrons à quel moment on est certain d’avoir une fraction périodique comme résultat d’une division et surtout nous étudierons plus en détail ces fractions.

Ok, mais à quel moment doit-on s’arrêter lorsque la division ne semble pas admettre un quotient exact ? La réponse dépend de la situation qui nous amène à faire la division. La situation définira toujours le nombre de décimales à partir de laquelle il faut s’arrêter et considérer que le quotient obtenu est satisfaisant. On dit qu’on fait une approximation du résultat à un certain nombre de décimales. En général, pour donner la valeur approchée d’un nombre à un certain nombre de décimales donné, on regarde le chiffre immédiatement à droite du dernier chiffre que l’approximation doit prendre en compte. Si ce chiffre est plus petit ou égal à 4, on conserve les chiffres de l’approximation tels quels et on s’arrête là. En revanche, si ce chiffre est plus grand que 4, on augmente le dernier chiffre de l’approximation d’une unité.

Par exemple, si on demandait l’approximation du quotient précédent à 3 décimales près, on aurait 762.857 et puisque le chiffre qui suit 7 est 1, on garde l’approximation comme telle. Mais si on demandait une valeur approchée à 2 décimales près, on aurait 762.86 (au lieu de 782.85) car le chiffre qui suit 6 est 7, qui est plus grand que 4.

C’est ici que prend fin cette série de cours sur les fractions. J’espère que vous avez adoré et que, comme moi, vous êtes exténués. Je propose donc qu’on fasse une pause avant de continuer. Qui nous offre le café ? 🙂

PDF du cours

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Les nombres fractionnaires et les fractions (3)
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