2.1. Les rapports et proportions

On n’est curieux qu’à proportion qu’on est instruit — Jean-Jacques Rousseau

Toute beauté remarquable a quelque bizarrerie dans ses proportions — Francis Bacon

Dans la vie, tout est question de proportions. Si l’on était des fourmis, le caniveau nous semblerait l’embouchure de l’Amazone — De Quino

Nous abordons maintenant la deuxième partie de l’Arithmétique, qui traite de la comparaison des nombres : rapports et proportions. Avant d’entrer dans le vif du sujet, permettez-moi de vous faire un bref résumé de ce que nous avons appris dans la première partie dédiée à la génération des nombres.

Nous avons affirmé que l’unité est la base de tous les nombres, c’est le principe, la clé, l’élément premier d’où provienne les nombres. L’unité, elle-même, n’est pas un nombre. Elle contient tous les nombres et elle est contenue dans chaque nombre. Tout objet matériel est un nombre, car tout ce qui existe vient de l’unité. On a vu que l’unité est le principe actif, que deux est le principe passif et que trois est le principe neutre. De ces trois principes primaires, tous les nombres sont générés. Voici comment on pourrait générer les dix premiers nombres : \(1 + 3 = 4\), \(2 + 3 = 1 + 4 = 5\), \(2 + 4 = 6\), \(3 + 4 = 1 + 6 = 2 + 5 = 7\), \(1 + 7 = 2 + 6 = 3 + 5 = 8\), \(1 + 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = 4 + 5 = 9\), \(1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 10\). On pourrait s’étendre de cette manière jusqu’à l’infini, mais cela n’est pas nécessaire. Le plus important c’est que nous arrivions à générer les autres nombres à partir des trois principes primaires.

Il convient à ce stade de noter que les Anciens attachaient aux dix premiers nombres une signification métaphysique, c’est-à-dire au-delà de la physique, spirituelle, transcendantale. Ils avaient, eux, compris que les nombres étaient vraiment des êtres. J’en parlerais certainement dans un intermède si ça vous intéresse. Toutefois, je réitère que vous ne devez pas vous attacher à la numération mais au sens réel des nombres et éviter de vous perdre dans des considérations liées aux très grands nombres. C’est vrai que cela sert dans les applications des maths, telles que la Finance et la Comptabilité, mais il est plus important de savoir qu’en assemblant plusieurs unités, on pourrait obtenir un très grand nombre, plutôt que de s’évertuer à faire des additions telles que \(1 215 789 + 352 254 887\). Car ce qui fait la particularité de ce cours, c’est la compréhension des principes. Bref, continuons… 😀

Après donc avoir défini ce qu’est un nombre et cité les dix premiers nombres, nous avons étudié le système de numération décimale afin de représenter tous les nombres. Enfin nous avons étudié les modes élémentaires de génération des nombres. On dit qu’il y en a trois principaux : l’addition, la multiplication et l’élévation à la puissance ; et qu’à chacun d’eux est associé un mode inverse : la soustraction, la division et l’extraction de racines, respectivement.

Quoique élémentaires, ces modes de génération des nombres sont vraiment les plus primitifs et on peut déjà prétendre être initié aux maths si on les comprend. Un ban pour vous alors. Haha !

Tu as dit comparaison ??

Bien souvent, lorsque nous contemplons un objet physique, nous sommes intéressés par la matière à partir de laquelle elle est faite (c’est-à-dire sa substance), et sa forme. Si vous avez sous vos yeux deux objets de même matière, nommons-les objet 1 et objet 2, vous les distinguez immédiatement par leur forme. La couleur aussi est un critère de distinction mais elle ne nous intéresse pas pour l’instant. Et vous dites “l’objet 1 est plus grand (ou gros) que l’objet 2“, ou vice-versa. Vous allez souvent même plus loin en disant “l’objet 1 est deux fois plus grand (ou gros) que l’objet 2“. Bien-sûr, c’est juste une estimation mais c’est en tout cas la sensation que vous avez. Ce que vous faites, de cette manière, est ce qu’on appelle une comparaison. Ce terme est tellement vulgaire que vous vous demanderez si je veux me foutre de votre gueule 😀 . Et quand vous dites “deux fois“, vous définissez un rapport de grandeur entre ces deux objets.

Eh bien ! la comparaison est le thème de cette seconde partie de l’Arithmétique. Après avoir appris à générer les nombres, nous devons apprendre à les comparer, comme nous le faisons pour les objets physiques. Rappelez-vous : tout objet est un nombre.
Cette procédure est classique en mathématique. Toutes les théories, simples ou complexes, partent d’abord d’objets élémentaires bien définis. À partir de ceux-ci, on détermine les autres objets par des opérations, et on compare ces objets entre eux. On dit qu’on établit une relation entre les objets.

Des rapports et proportions

Définition

Sans avoir égard au mode de génération d’un nombre, par exemple 4, celui-ci est égal à lui-même, \(4 = 4\). On parle alors de relation d’égalité ou d’identité, 4 est 4. En revanche, si on considère les nombres 4 et 7, il y a inégalité (ils ne sont pas identiques). L’inégalité introduit la notion de rapport (ou raison). En effet, chaque mode élémentaire (les modes principaux) de génération des nombres engendre un type de rapport, ce qui fait donc trois types de rapport. Mais l’Arithmétique se limite à deux :

  1. Lorsque vous dites que 4 est plus petit que 7, si l’on vous demande de combien, vous direz immédiatement de 3. C’est la réponse la plus évidente et vous avez raison. Ce résultat est la différence de 7 et 4 (\(3 = 7 – 4\)). On parle alors de rapport par différence ou rapport arithmétique, et on dit que 3 est le rapport par différence ou la raison arithmétique de 7 et 4.
  2. Prenons maintenant les nombres 4 et 8. Vous diriez encore que 4 est plus petit que 8 de 4 unités, car \(8 – 4 = 4\). Mais si vous poussez un peu plus votre analyse, vous constatez que 8 est le multiple de 4 (\(4 = 8 \div 2\)), et donc vous pouvez dire que 8 est deux fois plus grand que 4, ou 8 est le double de 4. On parle dans ce cas de rapport par quotient ou rapport géométrique, et on dit que 2 est le rapport par quotient ou la raison géométrique de 8 et 4.

On voit donc qu’il s’agit des rapports engendrés par les opérations de soustraction (inverse de l’addition) et de division (inverse de la multiplication).

Le premier terme d’un rapport est appelé l’antécédent et le second est appelé le conséquent. On dirait donc dans notre premier exemple que 7 est l’antécédent et 4 le conséquent, et dans le second exemple que 8 est l’antécédent et 4 le conséquent.

La notion de rapport nous permet de d’introduire une nouvelle notion, celle de proportion. En effet, il est possible d’obtenir le même rapport pour différentes valeurs des termes choisies soigneusement. Par exemple, 2 est également le rapport par quotient de 12 et 6, de 20 et 10 ou encore de 1242 et 621. Tout comme 3 est aussi le rapport par différence de 11 et 8, de 32 et 29 ou encore de 30 215 et 30 218. On dit qu’il y a proportion entre ces rapports par différence et entre ces rapports par quotient. La proportion résulte donc de l’égalité de deux rapports. Il y a donc deux types de proportion :

  1. La proportion par différence ou proportion arithmétique, lorsqu’il y a égalité de deux rapports par différence. Par exemple :
    $$11 – 8 = 32 – 29$$
  2. La proportion par quotient ou proportion géométrique, lorsqu’il y a égalité de deux rapports par quotient. Par exemple :
    $$12 \div 6 = 20 \div 10$$

Dans ce qui suit, nous nous bornerons à l’étude des rapports et proportions géométriques, car ils constituent la base de la résolution de plusieurs problèmes en mathématique, aussi bien en arithmétique qu’en géométrie. Donc quand nous dirons rapports (et proportions), entendez rapports géométriques (et proportions géométriques). Les Anciens Égyptiens construisaient tous leurs édifices en utilisant le concept de proportion, avec prépondérance. Ce concept est vraiment important donc ouvrez grand vos oreilles 🙂 .

Alors faisons un peu de vocabulaire. La proportion \(12 \div 6 = 20 \div 10\) se lit 12 divisé par 6 égale 20 divisé par 10 ou 12 est à 6 comme 20 est à 10. Quoique ces deux énoncés soient équivalents, vous conviendrez avec moi que le second est plus parlant. Je le conserverai donc pour la suite, mais libre à vous d’employer l’énoncé qui vous convient. Les termes 12 et 10 sont appelés les extrêmes, 6 et 20 les moyens de la proportion. La proportion peut également se noter \(12 \div 6 :: 20 \div 10\). C’est en tout cas cette notation que vous trouverez dans les anciens livres d’Arithmétique. Mais elle n’est plus vraiment usitée de nos jours. Nous ne l’emploierons donc que très rarement.

Un exemple de proportion
Un exemple de proportion

Propriétés

Les rapports étant des nombres fractionnaires, ils ont les mêmes propriétés que ces derniers. En ce qui concerne les proportions, leur propriété fondamentale est que le produit des extrêmes est toujours égal au produit des moyens (P1). On peut démontrer cette propriété de trois manières :

  1. Puisqu’il y a égalité des rapports qui forment la proportion, le quotient des deux rapports doit donc être égal à 1. Or diviser un nombre quelconque par un nombre fractionnaire (un rapport), c’est multiplier ce nombre par l’inverse du nombre fractionnaire. Il y a deux cas à considérer :
    1. Si le nombre quelconque est le rapport situé à gauche de l’égalité, alors son numérateur est l’extrême et son dénominateur est le moyen de ce rapport. Le nombre fractionnaire est donc le rapport de droite ; si on l’inverse, son extrême passe en numérateur et son moyen passe en dénominateur. En multipliant les numérateurs et dénominateurs des deux rapports, le nombre fractionnaire obtenu a pour numérateur, le produit des extrêmes et pour dénominateur, le produit des moyens de la proportion initiale. Et comme ce nombre fractionnaire est égal à 1, alors le produit des extrêmes (le numérateur) est égal au produit des moyens (le dénominateur).
      Soit, par exemple, la proportion \(12 \div 6 = 20 \div 10\). On a donc :
      $$\frac{\frac{12}{6}}{\frac{20}{10}} = 1$$
      Par suite :
      $$\frac{12}{6} \times \frac{10}{20} = 1$$
      $$\frac{12 \times 10}{6 \times 20} = 1$$
      D’où :
      $$12 \times 10 = 6 \times 20$$
    2. Si le nombre quelconque est le rapport situé à droite de l’égalité, alors son numérateur est le moyen et son dénominateur est l’extrême de ce rapport. Le nombre fractionnaire est donc le rapport de gauche ; si on l’inverse, son moyen passe en numérateur et son extrême passe en dénominateur. En multipliant les numérateurs et dénominateurs des deux rapports, le nombre fractionnaire obtenu a pour numérateur, le produit des moyens et pour dénominateur, le produit des extrêmes de la proportion initiale. Et comme ce nombre fractionnaire est égal à 1, alors le produit des moyens (le numérateur) est égal au produit des extrêmes (le dénominateur).
      Soit par exemple la proportion \(12 \div 6 = 20 \div 10\). On a donc :
      $$\frac{\frac{20}{10}}{\frac{12}{6}} = 1$$
      Par suite :
      $$\frac{20}{10} \times \frac{6}{12} = 1$$
      $$\frac{20 \times 6}{10 \times 12} = 1$$
      D’où :
      $$20 \times 6 = 10 \times 12$$
  2. Lorsqu’on rend les rapports de la proportion au même dénominateur, il apparaît au numérateur du rapport à gauche, le produit des extrêmes et au numérateur du membre à droite, le produit des moyens. Et comme ces deux rapports ont maintenant le même dénominateur, alors leurs numérateurs sont égaux : le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.
    Par exemple, la proportion \(12 \div 6 = 20 \div 10\) ou \(\frac{12}{6} = \frac{20}{10}\) devient :
    $$\frac{\mathbf{12 \times 10}}{6 \times 10} = \frac{\mathbf{20 \times 6}}{10 \times 6}$$
    Ainsi :
    $$12 \times 10 = 20 \times 6$$
  3. En décomposant l’antécédent (ou le conséquent, selon le cas) de chaque rapport de la proportion comme produit du conséquent (ou de l’antécédent) par la valeur du rapport, on constate que le produit des extrêmes contient les mêmes facteurs que le produit des moyens. Il s’en suit alors que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.
    Par exemple \(12 \div 6 = 20 \div 10\) peut s’écrire \(6 \times 2 \div 6 = 10 \times 2 \div 10\). Le produit des extrêmes est \(6 \times 2 \times 10\) et le produit des moyens est \(6 \times 10 \times 2\). Ces deux produits ont exactement les mêmes facteurs (et chaque facteur apparaît le même nombre de fois) 2, 6 et 10. On en déduit qu’ils sont égaux.

De cette propriété, il découle que si le produit de deux nombres est égal au produit de deux autres nombres, alors ces quatre nombres forment une proportion (P2) :

$$12 \div 6 = 20 \div 10 \mathrm{\ \ est\ équivalent\ à\ \ } 12 \times 10 = 6 \times 10$$

Remarquez aussi qu’en inversant les rapports d’une proportion, on obtient encore une proportion (P3). Cela s’explique par le fait que si deux nombres sont égaux alors leurs inverses sont égaux : \(6 = 6\) et \(\frac{1}{6} = \frac{1}{6}\). C’est une relation d’identité.
Ainsi, les nombres 6, 12, 10 et 20 forment la proportion :

$$6 \div 12 = 10 \div 20$$

On n’obtient une proportion si on multiplie (ou divise) chaque rapport d’une proportion par le même nombre (P4). Cela va de soi car si deux nombres sont identiques, si on multiplie chacun d’eux par le même nombre, on obtient deux nombres identiques : \(6 = 6\) et \(6 \times 3 = 6 \times 3\) ou \(18 = 18\).
Ainsi, en multipliant chaque rapport de la proportion \(12 \div 6 = 20 \div 10\) par 3, on obtient la proportion \(36 \div 6 = 60 \div 10\) et en la divisant par 5, on obtient la proportion \(12 \div 30 = 20 \div 50\). Et notez que toutes ces proportions sont égales à la proportion \(12 \div 6 = 20 \div 10\).

En plus, on obtient exactement le même rapport en multipliant (ou en divisant), soit les deux premiers termes, soit les deux derniers, soit les quatre termes d’une proportion. Il en est de même si on multiplie (ou divise) les deux premiers termes par un nombre et les deux derniers termes par un autre nombre (P5). Prenons un exemple pour clarifier cette propriété. Soit la proportion \(12 \div 6 = 20 \div 10\), dont la valeur du rapport est 2.

  • Si on multiplie ses deux premiers termes par 5, on obtient la proportion \(60 \div 30 = 20 \div 10\). Remarquez que nous avons la même valeur du rapport 2, car \(60 \div 30 = 2\) et \(20 \div 10 = 2\).
  • Si on multiplie ses quatre premiers termes par 5, on obtient la proportion \(60 \div 30 = 100 \div 50\). Remarquez encore que nous avons la même valeur du rapport 2, car \(60 \div 30 = 2\) et \(100 \div 50 = 2\).
  • Si on multiplie ses deux premiers termes par 5 et ses deux derniers termes par 8, on obtient la proportion \(60 \div 30 = 160 \div 80\). Nous avons la même valeur du rapport 2, car \(60 \div 30 = 2\) et \(160 \div 60 = 2\).

Je vous laisse le soin de vérifier que la propriété se vérifie dans le cas de la division.

En vérité, en utilisant la propriété fondamentale des proportions, on peut permuter les termes de la proportion de manière à obtenir à obtenir de nouvelles proportions (P6). Par exemple, partons de la proportion \(12 \div 6 = 20 \div 10\). En vertu de la propriété fondamentale des proportions, elle peut s’écrire comme suit :

$$12 \times 10 = 6 \times 20$$

À partir de cette proportion, nous pouvons réaliser la magie. D’abord, êtes-vous d’accord avec les affirmations suivantes ?

  • les produits \(12 \times 10\) et \(6 \times 20\) peuvent indifféremment être considérés comme produits des extrêmes ou produit des moyens d’une certaine proportion ;
  • dans le produit \(6 \times 20\), 6 peut être vu comme extrême et 20 comme moyen, ou 6 peut être vu comme moyen et 20 comme extrême, car \(6 \times 20 = 20 \times 6\). Il en est de même pour le produit \(12 \times 10\).

Je suis persuadé que vous êtes d’accord avec ces affirmations, alors continuons. On peut construire les proportions suivantes :

  • Considérons que \(10 \times 12\) est le produit des moyens et \(20 \times 6\) le produit des extrêmes, de la proportion qu’on veut construire. On la noterait donc \(?? \div 10 = 12 \div !!\), où les symbole ?? et !! représentent les extrêmes. On obtient donc les deux proportions suivantes :
    $$6 \div 10 = 12 \div 20 \mathrm{\ \ et\ \ } 20 \div 10 = 12 \div 6$$
    De même, prenons \(12 \times 10\) comme produit des moyens et \(20 \times 6\) comme produit des extrêmes, de la proportion à construire. Mais cette fois, 12 est à gauche et 10 à droite, on a \(?? \div 12 = 10 \div !!\). Ce qui nous donne les proportions suivantes :
    $$6 \div 12 = 10 \div 20 \mathrm{\ \ et\ \ } 20 \div 12 = 10 \div 6$$
  • Considérons maintenant que \(20 \times 6\) est le produit des moyens et \(12 \times 10\) le produit des extrêmes, de la proportion qu’on veut construire. On la noterait donc \(?? \div 20 = 6 \div !!\). On obtient donc les deux proportions suivantes :
    $$10 \div 20 = 6 \div 12 \mathrm{\ \ et\ \ } 12 \div 20 = 6 \div 10$$
    De même, prenons \(6 \times 20\) comme produit des moyens et \(12 \times 10\) comme produit des extrêmes, de la proportion à construire. Mais cette fois, 6 est à gauche et 20 à droite, on a \(?? \div 6 = 20 \div !!\). Ce qui nous donne les proportions suivantes :
    $$12 \div 6 = 20 \div 10 \mathrm{\ \ et\ \ } 10 \div 6 = 20 \div 12$$

En plus des proportions déterminées dans les sections précédentes, nous venons ainsi de construire toutes les proportions formées par les nombres 6, 10, 12 et 20. Il y a bien-sûr des répétitions comme \(6 \div 12 = 10 \div 20\) et \(10 \div 20 = 6 \div 12\), mais cela montre bien que ces deux proportions sont équivalentes.

Lorsqu’on multiplie deux proportions terme à terme, les produits obtenus forment une proportion (P7). Cela s’explique par le fait que multiplier une proportion par une autre est comme multiplier rapport de cette proportion par un même nombre, puisque chaque rapport de la seconde proportion est un et même nombre. Or en vertu de la propriété (P4), on obtient une proportion. Soient les proportions :

\(12 \div 6 = 20 \div 10\)
\(5 \div 8 = 15 \div 24\)

La multiplication terme à terme s’effectue comme suit :

$$\mathbf{(}12 \times 5\mathbf{)} \div \mathbf{(}6 \times 8\mathbf{)} = \mathbf{(}20 \times 15\mathbf{)} \div \mathbf{(}10 \times 24\mathbf{)}$$

Notez que j’utilise les parenthèses pour indiquer que les opérations de multiplication terme à terme. On obtient donc :

$$60 \div 48 = 300 \div 240$$

Ce qui est bien une proportion car la simplification du rapport \(60 \div 48\) donne \(5 \div 4\) et celle du rapport \(300 \div 240\) donne également \(5 \div 4\). Remarquez par ailleurs que le rapport de la première proportion, \(12 \div 6 = 20 \div 10\), est 2, la multiplier par la seconde proportion revient à multiplier chaque rapport de cette proportion par 2. Ce qui prouve, en vertu de (P4), qu’on obtiendrait une proportion.

Lorsqu’on élève tous les termes d’une proportion à la même puissance, on obtient une proportion (P8). De même, lorsqu’on prend la racine de même degré de tous les termes d’une proportion, on obtient une proportion (P9).
Soit la proportion \(2 \div 3 = 4 \div 6\). Si on élève tous les termes au carré (puissance 2), on obtient \(4 \div 9 = 16 \div 36\). Le rapport \(16 \div 36\) se réduit à \(4 \div 9\) si on divise chaque terme par 4. On voit donc qu’on obtient que \(4 \div 9 = 16 \div 36\) est une proportion.
Soit la proportion \(4 \div 9 = 16 \div 36\). Si on prend la racine carrée de chaque terme, on a \(2 \div 3 = 4 \div 6\), qui nous savons est bien une proportion. Oui ! j’ai pris la racine carrée de la proportion obtenue en élevant la proportion \(2 \div 3 = 4 \div 6\) à la puissance 2, mais cela est valide et prouve la propriété (P9).

Lorsqu’on additionne, terme à terme, plusieurs rapports égaux entre eux, les sommes obtenus forment un rapport de même valeur (P10). On peut donc dire que chacun de ces rapport est en proportion avec le rapport obtenu.  Soient les rapports :

$$12 \div 3,\ \ \ 20 \div 5,\ \ \ 32 \div 8,\ \ \ 44 \div 11$$

L’addition terme à terme donne le rapport \(108 \div 27\) qui est égal à 4. On en déduit que \(108 \div 27 = 12 \div 3\), \(108 \div 27 = 20 \div 5\), etc.

Pour une proportion quelconque, \(12 \div 3 = 20 \div 5\) par exemple, on a les deux propriétés suivantes :

  1. La somme (ou la différence) des antécédents est à celle des conséquents, comme un antécédent est à son conséquent (P11) :
    $$\frac{12 + 20}{3 + 5} = \frac{12}{3}$$
    $$\frac{20 – 12}{5 – 3} = \frac{12}{3}$$
  2. La somme des antécédents est à leur différence, comme la somme des conséquents est à leur différence (P12) :
    $$\frac{12 + 20}{20 – 12} = \frac{5+3}{5 – 3}$$

Je tiens encore à signaler que vous ne devez en aucun cas retenir ces propriétés par cœur. La liste n’est d’ailleurs pas exhaustive. Le plus important à savoir, c’est la nature des proportions. Dès qu’on le sait, leur propriété fondamentale nous saute aux yeux et les autres propriétés en découlent.

L’utilisation des proportions dans la vie courante

Je sais que vous mourez d’impatience de voir à quoi peuvent bien servir ces proportions dont je vous ai submergé l’esprit de propriétés. Gardez encore un peu votre mal en patience ; c’est ici le lieu de voir quelques exemples d’utilisation de ce concept dans la vie active. Commençons par le plus proche de nos activités quotidiennes : les unités de mesure.

Les unités de mesure

Nous avons brièvement parlé des unités de mesure dans notre discussion sur le concept d’unité dans le chapitre dédié à la construction des nombres. Nous ne ferons ici qu’entrer dans certains détails.

Vous savez fort bien que l’unité est la base de tout, en général, et des mesures, en particulier. Lorsque vous voulez mesurer (ou compter) le nombre de stylos que vous avez, vous l’effectuez assez rapidement parce que vous en avez l’habitude. Le psychologue dirait que c’est votre subconscient qui le fait car votre conscience s’y est tellement accoutumée que ce serait une corvée pour elle d’y prêter toute son attention. Cependant, juste pour comprendre comment l’unité apparaît dans cette tâche, je vous prie d’y prêter toute votre attention, ne serait-ce que cette fois 🙂 . Rassemblez des stylos devant vous et mettez-vous à les compter, consciemment, un à un. Ce que vous faites, c’est que vous prenez un élément que vous identifiez comme étant un stylo, et vous dites “un” (1) ; ensuite vous prenez un autre élément que vous comparez au premier et vous dites “deux” (2) car il vous apparaît comme un stylo. En fait, lors de votre premier acte, vous avez inconsciemment considéré le premier élément comme étant l’unité qui servirait de compter tous les éléments, parce que, avant d’ajouter un élément, vous le comparer au premier, pris comme unité, et s’il a les mêmes caractéristiques, vous le compter comme un stylo. Et vous continuez ainsi jusqu’à trouver le nombre de stylos. Vous procédez de la même manière pour tout type d’éléments que vous essayez de mesurer.

Prenons un autre exemple plus complexe, mais aussi plus instructif. Dans un pays, on a des divisions territoriales : régions, départements, villes, villages, cantons, etc. Prenons le concept de ville. L’un des critères les plus important pour décider qu’un territoire est une ville, est le nombre de ses habitants. La ville où je me trouve, écrivant ces lignes est Tarnos, en France ; selon le site internet de la ville, Tarnos comporte près de 12 600 habitants. Une des villes les plus proches est Bayonne, elle comporte près de 50 000 habitants ; une autre ville est Boucau, elle comporte environ 8098 habitants. Quoique chaque territoire comporte un nombre très différent d’habitants, on les considère toute comme des villes. On dit la ville de Tarnos, de Bayonne et de Boucau. On considère la ville comme étant une unité. Cette unité a des caractéristiques et grâce à celles-ci, de nouveaux territoires peuvent être comptés comme ville.
Prenons maintenant le concept de département. Un département comporte des villes. On a plusieurs départements dans un pays et pour certaines discussions, on préfère considérer les départements plutôt que les villes. Le département est donc vu comme une unité.
Remarquez que dans ces deux cas, le concept d’unité est vraiment relatif ; on s’accorde sur ce qu’on va considérer comme unité pour mesurer tous les éléments du même type. Même si un habitant forme une unité à part entière, pour des discussions particulières, il est beaucoup plus approprié de considérer la ville, et dans d’autres situations, le département. L’habitant, la ville, le département, …, sont des unités. Il n’y a donc pas dans la vie pratique, un concept absolu d’unité.

Vous voici maintenant initiés au concept d’unité dans la vie active. En effet, les unités auxquelles nous sommes le plus accoutumés sont celles du système métrique. Ce système contient principalement les unités de masse, de longueur, de temps, de température, etc. Il existe plusieurs systèmes d’unités en fonctions des pays ou continents, mais le système sur lequel on s’entend presque tous est le système métrique, appelé maintenant système international (abrégé en SI). Nous n’allons pas entrer dans les détails de ce système mais comprendre comment une unité, telle que le mètre, est introduite. En effet, tout le système est basé sur des conventions. Un comité de scientifiques est créé pour s’en charger. Pour la mesure de la longueur, ils décident par exemple de prendre la longueur d’un certain bras (humain) comme étant l’unité de mesure et ils l’appellent le mètre. De cette unité, nous sommes capables de mesurer toutes les longueurs. Le mètre est considéré comme unité principale. On associe à elle des multiples et sous-multiples. Dans le système international, ce sont des multiples (ou puissance) de dix. La raison de ces multiples (et sous-multiples) est de faciliter la notation des nombres. Par exemple, si on veut mesurer la longueur d’une distance très étendue, disons de la France à la Côte d’Ivoire, on s’aperçoit que cela fait environ 6 600 000 mètres. On se dit donc qu’il est plus convenable des multiples du mètre pour pouvoir, par exemple, écrire simplement 6 600. Il nous faut donc une unité qui serait une puissance 3 de 10. On appelle cette unité le kilomètre, et on écrit donc 6 600 kilomètres. Remarquez qu’on a juste ajouté le préfixe kilo à mètre. Il en est de même pour l’unité de mesure de la masse, qui est le gramme. On a également l’unité kilogramme. Il y a plusieurs préfixes pour désigner les multiples et les sous-multiples d’une unité principale mais notre but n’est pas de les énumérer.

Où donc interviennent les propriétés dans ce concept d’unités de mesure ? En fait, quoique cela n’apparaissent pas explicitement, ce concept est entièrement fondé sur le concept de proportions. Lorsqu’on s’entend sur une unité, le mètre par exemple, qu’on mesure deux objet quelconques, on les note objet A et objet B, et qu’on dit que objet A vaut trois unités, ou trois mètres et que objet B vaut six unités ou sept mètres, on dit que objet B est deux fois plus grand que objet A. On aurait pu dire que, en terme de longueur, objet B est à objet A comme le nombre 2 est à l’unité, 1. Et suivant notre notation des proportions, on aurait :

$$\mathrm{\mathbf{objet\ B}} : \mathrm{\mathbf{objet\ A}} :: 2 : 1$$

Ou sous forme numérique :

$$6 : 3 :: 2 : 1$$

Notez que le symbole : (deux points) est équivalent au symbole de division (\(\div\)) que nous avons utilisé jusqu’à maintenant. Il est même plus usité dans certains contextes.

Continuons notre application basique des proportions. Disons que nous avons un troisième objet, noté objet C, et qu’il mesure douze mètres de longueur. Les trois objets A, B et C forment une proportion de rapport 2 : objet B est à objet A comme objet C est à objet B. qu’onn pourrait noter :

$$\mathrm{\mathbf{objet\ B}} : \mathrm{\mathbf{objet\ A}} :: \mathrm{\mathbf{objet\ C}} : \mathrm{\mathbf{objet\ B}}$$

Ou sous forme numérique :

$$6 : 3 :: 12 : 6$$

Objets dont la longueur forment une proportion de rapport 2.
Objets dont la longueur forment une proportion de rapport 2

Et de cette manière, on peut nous-mêmes construire un quatrième objet, noté objet D, formant une proportion de même rapport avec les trois autres. Ainsi, si nous voulons que objet D soit à objet C comme objet B est à objet A, il suffit que le rapport entre la longueur de objet D et celle de objet C soit égal à 2. Et comme la longueur de objet C est 12, celle de objet D doit être de \(12 \times 2\), soit de 24. On note :

$$\mathrm{\mathbf{objet\ D}} : \mathrm{\mathbf{objet\ C}} :: \mathrm{\mathbf{objet\ B}} : \mathrm{\mathbf{objet\ A}}$$

Ou sous forme numérique :

$$24 : 12 :: 6 : 3$$

Notez que la méthode utilisée pour déterminer la longueur de objet D est appelée la règle de trois. Nous l’étudierons explicitement dans la seconde partie de ce cours.

Le dessin

Ici je relaterai mon expérience personnelle afin que vous compreniez que le concept de proportion est vraiment réel et qu’il est un des outils les plus privilégiés des artistes.

Lors que mon stage d’apprentissage formel – je savais déjà informellement dessiner 😀 – du dessin au Conservatoire National des Arts et Métiers d’Abengourou, en Côte d’Ivoire, il y a plus de 8 ans, je fus introduit, par mon prof, à la notion de module. Je devais représenter, sur papier, un buste qui se trouvait à environ trois mètres devant moi. En anatomie, le buste est la partie supérieure du corps humain, comprise entre la ceinture et le cou. En beaux-arts, c’est une sculpture représentant la tête et le haut du buste. Entendez donc que c’est un objet réel, palpable. Ce buste était considérablement plus grand que la feuille de papier sur laquelle je devais le représenter. Il fallait donc trouver un moyen pour y arriver. C’est ici que la notion de module rentre en jeu.

Mon prof me dit de tenir mon crayon à papier verticalement et de tendre mon bras longitudinalement (c’est-à-dire dans la direction du sol) en avant vers le buste, au niveau de la tête. Ensuite, de fermer un œil et de fixer le crayon avec l’autre œil. Enfin, d’identifier à environ quelle fraction du crayon, la tête correspond. Cette fraction est appelée le module, elle est prise comme unité pour représenter la tête ainsi que toutes les autres parties du buste. La longueur (ou hauteur) de la tête a donc été prise comme unité. On aurait bien-sûr pu prendre tout autre partie.
Pour ne pas perdre le module, je le reporte dans un angle de la feuille de papier.

la notion de module en dessin
La notion de module en dessin

À l’aide du module, et en suivant le procédé expliqué plus haut, il m’était possible d’évaluer que la partie inférieure du buste (au dessous du cou) fait environ deux fois la longueur de la tête, donc deux fois le module. Et de cette manière, j’ai pu représenter le buste sur la feuille de papier. Et ma représentation est semblable au buste réel, car elle est au buste réel comme le module est à l’unité : le rapport est le module. Oh ! les proportions. 🙂

Bon ! vaut mieux que nous nous arrêtions là pour que vous puissiez diriger ce que nous venons d’apprendre et attaquer la seconde partie. D’ici là, faites tout en bonne proportion. 😉

PDF du cours

Les rapports et proportions.pdf
Les rapports et proportions
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