2.2. Intermezzo: Le système métrique

Dans le chapitre précédent, j’ai brièvement parlé du système métrique, réservant les détails pour cet intermède.

Vous connaissez déjà les fondamentaux  du système métrique. Nous allons maintenant nous familiariser avec ce système. En vérité, cela n’est nécessaire que si l’on veut considérer les nombres concrets, c’est-à-dire lorsqu’on veut attacher un nombre à un objet. Sinon, lorsqu’on considère les nombres d’un point de vue abstrait, les unités de mesure nous importe peu. Cependant, le monde dans lequel nous vivons actuellement est tellement attaché aux nombres concrets qu’il est nécessaire d’étudier le système métrique. Par exemple, l’homme a créé des unités telles que le mètre pour mesurer la longueur, le gramme pour mesurer la masse (ou le poids), le litre pour mesurer le volume, la seconde pour mesurer le temps, etc. Ainsi, dans ce contexte, douze litres n’a pas le même sens que douze mètres. Pourtant, douze est douze, d’un point de vue abstrait.

Les unités à multiples (et sous-multiples) de 10

J’ai dit dans le chapitre précédent que pour chaque type de mesure (ou dimension), on a une unité principale et des multiples et sous-multiples de cette unité. Par exemple, le mètre est l’unité principale de mesure de la longueur ; le kilomètre est un multiple et le centimètre est un sous-multiple. J’ai également dit que ce sont des multiples et sous-multiples de 10, mais il y a des exceptions comme les unités de mesure du temps et de l’argent.
Mais avant de voir ces exceptions, commençons par le cas général. Utilisons donc le mot unité comme terme générique pour désigner une unité principale quelconque. Et prenons u comme symbole de l’unité.

Pour obtenir les multiples et sous-multiples d’une unité, on lui associe un préfixe. Les préfixes pour les multiples sont, par ordre croissant (du plus petit au plus grand) de grandeur :

  • le déca (symbole: da): 1 déca-unité (1 dau) = \(10\) unités
  • l’hecto (symbole: h): 1 hecto-unité (1 hu) = \(100\) ou \(10^2\) unités
  • le kilo (symbole: k): 1 kilo-unité (1 ku) = \(1000\) ou \(10^3\) unités
  • le méga (symbole: M): 1 méga-unité (1 Mu) = \(1 000 000\) ou \(10^6\) unités
  • le giga (symbole: G): 1 giga-unité (1 Gu) = \(1 000 000 000\) ou \(10^9\) unités
  • le téra (symbole: T): 1 téra-unité (1 Tu) = \(1 000 000 000 000\) ou \(10^{12}\) unités
  • le péta (symbole: P): 1 péta-unité (1 Pu) = \(1 000 000 000 000 000\) ou \(10^{15}\) unités
  • etc.

Les préfixes pour les sous-multiples sont,  par ordre décroissant (du plus grand au plus petit) de grandeur :

  • le déci (symbole: d): 1 déci-unité (1 du) = \(0.1\) ou \(\frac{1}{10}\) unité
  • le centi (symbole: c) : 1 centi-unité (1 cu) = \(0.01\) ou \(\frac{1}{100}\) ou \(\frac{1}{10^2}\) unité
  • le milli (symbole: m): 1 milli-unité (1 mu)= \(0.001\) ou \(\frac{1}{1000}\) ou \(\frac{1}{10^3}\) unité
  • le micron (symbole: \(\bf\mu\)): 1 micro-unité (1 \(\mu\)u)= \(0.000001\) ou \(\frac{1}{1 000 000}\) ou \(\frac{1}{10^6}\) unité
  • le nano (symbole: n): 1 nano-unité (1 nu) = \(0.000000001\) ou \(\frac{1}{1 000 000 000}\) ou \(\frac{1}{10^9}\) unité
  • le pico (symbole: p): 1 pico-unité (1 pu) = \(0.000000000001\) ou \(\frac{1}{1 000 000 000 000}\) ou \(\frac{1}{10^{12}}\) unité
  • le femto (symbole: f) : 1 pico-unité (1 du) = \(0.000000000001\) ou \(\frac{1}{1 000 000 000 000}\) ou \(\frac{1}{10^{15}}\) unité
  • etc.

De la conversion d’unités

Après avoir déterminé les multiples et sous-multiples d’une unité, la question qui se pose est comment passer de l’unité principale à un multiple (ou sous-multiple) et vice-versa, ou comment passer d’un multiple (ou sous-multiple) à un multiple (ou sous-multiple). Cette opération se nomme une conversion. Notez que les multiples et sous-multiples de l’unité sont également des unités, donc on les considérera comme tel dans ce qui suit.

Dans une conversion, appelons l’unité de départ, l’unité source, et l’unité d’arrivée, l’unité cible.

Soit à convertir 1 u en mu, on a déjà dit que 1 u = 1000 mu. Pour obtenir ce résultat, on a multiplié 1 par 1000. Qu’en est-il de 23 u en mu ? On obtient 23 000 mu. En revanche pour convertir 1 u en ku, on divise 1 par 1000, ce qui donne 0.001 ku.

En général, pour réaliser la conversion, on regarde la position de l’unité cible par rapport à l’unité source. Selon l’ordre de grandeur défini plus haut, l’unité cible est soit en haut ou en bas de l’unité source. Si elle est en haut, l’unité source sera divisée par une certaine puissance de 10. Sinon si elle est en bas, l’unité source sera multipliée par une certaine puissance de 10. Comment détermine-t-on cette puissance de 10 ? On compte (de 1 en 1) le nombre qui correspond à la position (en haut ou en bas) de l’unité cible par rapport à l’unité source. Par exemple, le ku est à la troisième position au-dessus de l’unité u, donc pour convertir 1 u en ku, on divise 1 par 1000.

On souhaite par exemple convertir 51 mu en hu. L’unité source est le mu et l’unité cible est le hu. L’unité hu est située à la cinquième position en haut du, donc pour passer à hu, on divise du par \(10^5\), soit \(51 / 10^5 = 0.00051\). Donc 51 mu = 0.00051 hu.

Il y a une manière automatique de réaliser la conversion, c’est-à-dire qu’elle nous évite de raisonner en terme de multiplication ou division. Pour ce faire, on dispose les unités horizontalement de gauche à droite (dans l’ordre défini précédemment), comme sur le tableau suivant :

\(
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\hline
\cdots & \text{Pu} & \text{Tu} & \text{Gu} & \text{Mu} & \text{ku} & \text{hu} & \text{dau} & \textbf{u} & \text{du} & \text{cu} & \text{mu} & \mu{}\text{u} & \text{pu} & \text{fu} & \cdots\\ \hline \hline
 &  &  &  &  &  &  &  & &  &  &  &  &  &  &\\  \hline
\end{array}
\)

Évidemment, lorsque vous utilisez ce tableau, vous devez supprimer les unités qui n’entrent pas en jeu dans votre exercice afin de rendre le tableau plus simple.

Voyons maintenant comment utiliser ce tableau. Pour convertir un nombre d’une unité à une autre, on place le chiffre des unités de ce nombre dans la case correspondant à l’unité source, et les autres chiffres sont disposés dans les cases à gauche (et à droite, s’il s’agit d’un nombre à virgule) selon leur position dans le nombre. Après avoir placé le nombre dans le tableau, il y a deux cas :

  • si l’unité cible est à gauche de l’unité source, on se déplace vers la gauche, jusqu’à la case correspondant à l’unité cible. On remplit toutes les cases vides rencontrées par 0 et on place une virgule (ou un point) à droite du 0 de la case de l’unité cible. Si les cases ne sont pas vides, c’est-à-dire qu’on y retrouve des chiffres du nombre de l’unité source, alors on place une virgule (ou un point) à droite du chiffre qui se trouve dans la case de l’unité cible.
    On obtient le nombre recherché en commençant par le chiffre se trouvant dans la case de l’unité cible jusqu’au dernier chiffre de l’unité source.
  • si l’unité cible est à droite de l’unité source, on se déplace vers la droite, jusqu’à la case correspondant à l’unité cible. On remplit toutes les cases vides rencontrées par 0. Si les cases ne sont pas vides, c’est-à-dire qu’on y retrouve des chiffres du nombre de l’unité source, alors on place une virgule (ou un point) à droite du chiffre qui se trouve dans la case de l’unité cible. Si le dernier chiffre du nombre de l’unité source se trouve dans la case de l’unité cible, il n’est pas besoin de mettre une virgule.
    On obtient le nombre recherché en commençant par le premier chiffre de l’unité source jusqu’au chiffre se trouvant dans la case de l’unité cible.

Reprenons notre exemple précédent. On veut convertir 51 mu en hu. On forme le tableau suivant :

\(
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{hu} & \text{dau} & \text{u} & \text{du} & \text{cu} & \text{mu} \\ \hline \hline
\textbf{0 ,}& \textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{0} & 5 & 1\\ \hline
\end{array}
\)

On obtient en toute évidence 0.00051 hu comme nous l’avons vu plus haut. Pour obtenir ce résultat, nous avons d’abord placer le chiffre des unités du nombre 51, c’est-à-dire 1, dans la case de l’unité source, c’est-à-dire dans la case vide de mu. Et on a placé le chiffre des dizaines de 51, c’est-à-dire 5, dans la case vide immédiatement à gauche. Le nombre initial étant placé dans la table de conversion, il ne reste plus qu’à identifier de quel côté de l’unité source se trouve l’unité cible. Et on voit que hu est à gauche de mu. On se déplace donc vers la gauche jusqu’à hu en plaçant un zéro dans chaque case vide rencontrée. Pour finir, on met une virgule (ou un point) à droite du zéro de la case hu.

Soit à convertir 3.232 ku en du.  On forme les tableaux suivants :

\(
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{ku} & \text{hu} & \text{dau} & \text{u} & \text{du} \\ \hline \hline
3 , & 2 & 3 & 2 & \\ \hline
\end{array}
\)

\(
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{ku} & \text{hu} & \text{dau} & \text{u} & \text{du} \\ \hline \hline
3 & 2 & 3 & 2 & \textbf{0}\\ \hline
\end{array}
\)

Remarquez encore que, dans le premier tableau, nous avons placé le chiffre des unités de 3.232, c’est-à-dire 3 (le 3 à gauche de la virgule), dans la case de l’unité ku, et les autres chiffres immédiatement à droite selon leur position visuelle.
Pour obtenir le résultat, on identifie la case de l’unité cible du. Elle est à droite de ku, donc on se déplace vers la droite en mettant un zéro dans chaque case vide qu’on rencontre. Notez que dans ce cas, on déplace de même la virgule. Puisque seule la case de du est vide, on met un zéro dans cette case et on a fini. On devrait normalement placé la virgule à droite de ce zéro mais d’après notre cours sur les fractions décimales, on sait que c’est inutile.
On a donc 3.232 ku = 32320 du.

Soit à convertir le même nombre précédent, cette fois en u. On a le tableau suivant :

\(
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{ku} & \text{hu} & \text{dau} & \text{u} \\ \hline \hline
3 & 2 & 3 & 2 \\ \hline
\end{array}
\)

Cette fois encore l’unité cible, u, est à droite de l’unité source, ku, donc on se déplace vers la droite. Et on constate que le dernier chiffre du nombre à convertir se trouve exactement dans la case u, on s’arrête donc là.
On a donc 3.232 ku = 3232 u.

Finalement, on souhaite convertir 0.005 u en cu. On forme les tableaux suivants :

\(
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{u} & \text{du} & \text{cu} & \text{mu} \\ \hline \hline
0 , & 0 & 0 & 5 \\ \hline
\end{array}
\)

\(
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{u} & \text{du} & \text{cu} & \text{mu} \\ \hline \hline
0 & 0 & 0 \textbf{,} & 5\\ \hline
\end{array}
\)

Suivant les précédents exemples, on obtient trivialement le premier tableau. Ensuit, on remarque que l’unité cible, cu, est à droite de l’unité source, u, on se déplace donc vers la droite. Puisque la case cu contient un chiffre du nombre à convertir et qu’il y a encore des chiffres après cette case (un seul chiffre dans le cas présent), on place la virgule à droite de ce chiffre et on obtient donc 000.5 cu. Et on sait qu’un seul zéro suffit, les autres n’étant pas significatifs.
On a finalement 0.005 u = 0.5 cu.

Des unités multidimensionnelles

Le type d’unités que nous avons étudié dans la section précédente est qualifiée d’unidimensionnelle, c’est-à-dire à une dimension. La dimension est déterminée par la puissance de l’unité. Puisque l’unité de mesure u est élevée à la puissance 1 (\(\text{u}^1 = \text{u}\)), elle est donc unidimensionnelle. Il va sans dire que \(\text{u}^2\) et \(\text{u}^3\) sont des unités de la deuxième et troisième dimension, respectivement. Par exemple, l’unité de mesure de la surface est le mètre-carré (symbole: \(\text{m}^2\)) et une unité de mesure du volume est le mètre-cube (symbole: \(\text{m}^3\)).
Comment réalise-t-on la conversion pour ce genre d’unités ?

Il suffit juste de modifier quelque peu notre tableau précédent et la règle de déplacement à gauche (ou à droite). Pour les unités unidimensionnelles, on avait une seule case par unité (multiples et sous-multiples compris). Par analogie, pour les unités multidimensionnelles, on aura de multiples cases. Pour la dimension 2, on aura deux cases par unité, pour la dimension 3, trois cases, et ainsi de suite.

Lors de la conversion, on place le chiffre des unités du nombre à convertir dans la dernière case (si on compte de gauche à droite) de l’unité source. Et lorsqu’on se déplace à gauche ou à droite, on s’arrête toujours à la dernière case (si on compte de gauche à droite) de l’unité cible.

Soit par exemple à convertir 12 \(\textbf{u}^2\) en \(\textbf{cu}^2\). On forme les tableaux suivants :

\(
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
 \text{u}^2 & \text{du}^2 & \text{cu}^2  \\ \hline \hline
\begin{array}{c|c} 1 & 2 \end{array} & \begin{array}{c|c}  &  \end{array} &  \begin{array}{c|c}  & \end{array}\\ \hline
\end{array}
\)

\(
\begin{array}{|c|c|c|}\hline
\text{u}^2 & \text{du}^2 & \text{cu}^2\\ \hline \hline
\begin{array}{c|c} 1 & 2 \end{array} & \begin{array}{c|c} \textbf{0} & \textbf{0} \end{array} & \begin{array}{c|c} \textbf{0} & \textbf{0} \end{array}\\ \hline
\end{array}
\)

Comme vous pouvez le voir dans le premier tableau, le chiffre des unités, 2, du nombre à convertir, 12, est placé dans la dernière (la deuxième de gauche à droite) case et le chiffre des dizaines, 1, est placé dans la case immédiatement à gauche. Puisque l’unité cible se trouve à droite de l’unité source, on se déplace vers la droite et on met un zéro dans chaque vide rencontrée jusqu’à ce qu’on arrive dans la dernière case de l’unité cible. Et on obtient ainsi le nombre correspondant dans l’unité cible.
Dans cet exemple, on a \(12~\textbf{u}^2 = 120 000~ \textbf{cu}^2\).

Convertissons maintenant \(12~\textbf{u}^3\) en \(\textbf{ku}^3\). On forme le tableau suivant :

\(
\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\text{ku}^3 & \text{hu}^3 & \text{dau}^3 & \text{u}^3 \\ \hline \hline
\begin{array}{c|c|c}  &  & \textbf{0,} \end{array} & \begin{array}{c|c|c} \textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{0} \end{array} & \begin{array}{c|c|c} \textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{0} \end{array} & \begin{array}{c|c|c} \textbf{0} & 1 & 2 \end{array}\\ \hline
\end{array}
\)

Les unités à divisions particulières

Plusieurs unités de mesure ne s’étendent pas conventionnellement en multiples et sous-multiples de 10, c’est le cas des unités de mesure de l’argent et du temps. Il en existe bien d’autres mais nous nous limiterons à ces deux. Commençons donc par les unités de temps.

Les unités de temps

Dans le système métrique, l’unité principale de mesure du temps est la seconde (symbole: s). Les extensions supérieures de la seconde par ordre de grandeur croissant sont :

  • la minute (symbole: min): \(1~\textbf{min} = 60~\textbf{s}\)
  • l’heure (symbole: h): \(1~\textbf{h} = 60~\textbf{mn} = 3600~\textbf{s}\)
  • le jour (symbole: d, du latin diurnus): \(1~\textbf{d} = 24~\textbf{h} = 1440~\textbf{mn} = 86400~\textbf{s}\)
  • etc.

Les extensions inférieures de la seconde par ordre de grandeur décroissant sont :

  • la milliseconde (symbole: ms): \(1~\textbf{ms} = 0.001~\textbf{s} = \frac{1}{10^3}~\textbf{s}\)
  • la microseconde (symbole: \(\mu\)s): \(1~\mu{}\textbf{s} = 0.000001~\textbf{s} = \frac{1}{10^6}~\textbf{s}\)
  • la nanoseconde (symbole: ns): \(1~\textbf{ns} = 0.000000001~\textbf{s} = \frac{1}{10^9}~\textbf{s}\)
  • etc.

Il y a bien d’autres extensions mais arrêtons-nous ici et passons aux unités de mesure de l’argent.

Les unités d’argent

L’unité générique de mesure de l’argent est le franc. Dans notre civilisation mondiale actuelle, chaque pays peut se permettre d’avoir sa propre monnaie. Sans entrer dans les subtilités de la finance, on peut dire que la monnaie est une forme d’unité d’argent. Les monnaies ont entre elles des rapports de proportion, la valeur du rapport étant généralement déterminée par la richesse de chaque pays.

On compte un grand nombre de monnaies, notre but n’est donc pas de les étudier toutes. Nous parlerons uniquement de trois d’entre elles : le franc CFA (symbole: XOF), l’Euro (symbole: ) et le Dollar américain (symbole: $).

Numériquement, l’argent se compte en entier ou en nombre décimal. Mais, physiquement, chaque monnaie a ses divisions particulières, en pièces métalliques (généralement circulaires) ou en billets (généralement en papier et de forme rectangulaire, également appelés coupures).
Par exemple :

  • le franc CFA a des pièces de 5 F, 10 F, 25 F, 50 F, 100 F, 200 F, 250 F (de plus en plus rares) et de 500 F, et des billets de 500 F, 1000 F, 2000 F, 5000 F et de 10 000 F. Cette monnaie n’a pas de concept d’unité en son sein. Par exemple, ça n’a pas trop de sens de dire 1 F CFA, la plus petite division étant la pièce de 5 F. Il est de ce fait peu probable de trouver un article en vente à 101 F par exemple, dans un pays qui a pour monnaie le franc CFA.
  • l’euro a un concept d’unité, symbolisé par la pièce d’un euro (1€). Les plus petites divisions (sous-multiples) sont les pièces d’un centime (un centième d’un euro), 2 centimes, 5 centimes, 10 centimes, 20 centimes et de 50 centimes. Les plus grandes divisions (multiples) sont la pièce de 2€ et les coupures de 5€, 10€, 20€, 50€, 100€, 200€ et de 500€ (qui ne devrait plus être imprimées à partir de l’année 2019).
  • le dollar présente également un concept d’unité symbolisé par le billet (plutôt qu’une pièce) d’un dollar (1$). Les sous-multiples du dollar sont des pièces : le penny ou cent (un centième d’un dollar: 0.01$), le nickel (cinq centième d’un dollar: 0.05$), le dime (se lit daïme, fait un dixième d’un dollar: 0.1$), le quarter (se lit couarteur, fait un quart d’un dollar: 0.25$) et le half dollar (la moitié d’un dollar: 0.5$). Tous ces noms sont anglais. Les coupures du dollar sont les mêmes que celles de l’euro à l’exception des coupures de 200 et 500 qui n’ont pas d’équivalents dans le dollar.

Pour une unité monétaire, on ne parle pas de conversion d’un multiple vers un autre. On parle plutôt de conversion entre monnaies, par exemple entre l’euro et le franc. Nous étudierons ce type de conversion au prochain chapitre, après avoir étudié la règle de trois.

Notre intermède sur les unités de mesure prend ainsi fin. Ce que nous avons appris nous servira dans la résolution de problèmes qui font intervenir des nombres concrets, comme nous en verrons au prochain chapitre.

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