L’Algorithmie ou la science des nombres

La mathématique est la reine des sciences, mais que la théorie des nombres est la reine des sciences mathématiques — Gauss

 

Les nombres sont le plus haut degré de la connaissance. Le nombre est la connaissance même — Platon

Dieu a créé les nombres, le reste est l’œuvre de l’homme — Kronecker

À ce stade de notre voyage initiatique, vous devez avoir une idée claire d’où nous allons, des motivations qui nous poussent à y aller et des outils nécessaires pour y arriver. Les chapitres précédents n’étaient que des préliminaires. Il fallait que je vous dépeigne le tableau global de cette aventure scientifique. Et maintenant, le décor étant planté, nous pouvons entreprendre notre voyage sans crainte ni doute car nous sommes assurés d’y arriver. Les obstacles et épreuves que nous rencontrerons en cours de route ne sont là que pour nous tester et nous fortifier. À chaque obstacle, notre mathna (pouvoir mathémagique) augmente. Alors, apprenez à aimer les épreuves car c’est grâce à elles que vous deviendrez des initiés. Alors, on se lance !

Dans cette partie, nous étudierons l’Algorithmie. Nous avons vu dans le chapitre précédent, sur les mathématiques, que l’Algorithmie est la science des nombres. Cette dénomination est due à Wronski et puisque ce géomètre de génie est très peu connu, il est très peu probable que vous ayez déjà vu ce mot auparavant, même ceux qui ont fait des maths supérieures. Nous avons vu que ce mot dérivait d’un autre mot qui, lui, est beaucoup connu des mathématiciens et des informaticiens. Ce mot est algorithme, qui signifie calcul. En informatique, un algorithme est un programme qui est écrit dans le langage courant. Donc, au lieu d’écrire les instructions en langage de programmation (Racket, par exemple), on l’écrit en français ou en anglais. Il y a cependant quelques règles à respecter pour éviter la subjectivité du langage. Une branche entière de l’informatique est réservée à l’étude et à la création d’algorithmes pour des problèmes importants, c’est l’Algorithmique. Il ne faut donc pas confondre Algorithmie et Algorithmique.

Il y a deux principaux points de vue par lesquels nous concevons les nombres : le point de vue général et le point de vue particulier. Les nombres considérés en général c’est-à-dire lorsqu’on considère les propriétés communes à tous les nombres ou les lois des nombres, on parle d’algèbre. Et lorsque nous considérons les nombres en particulier, c’est-à-dire selon les propriétés spécifiques à chaque nombre ou les faits des nombres, on parle d’arithmétique. De cette classification et en nous rappelant de ce que nous avons appris sur la démarche scientifique, nous voyons clairement que l’algèbre est d’un degré supérieur à l’arithmétique. Car l’algèbre étudie les lois des nombres alors que l’arithmétique ne s’intéresse qu’aux faits. Il est tout aussi facile de comprendre que cela implique que l’algèbre est relativement plus difficile que l’arithmétique. C’est pourquoi, à l’école, nous apprenons l’arithmétique avant l’algèbre.

Une autre considération est également importante ici. Lorsque nous parlons de faits des nombres, on a tendance à vivifier les nombres. Oui ! C’est exactement le cas. Les nombres peuvent être vus comme des organismes vivants, ayant une existence propre comme les hommes, les animaux et les plantes. Rien de ce qui existe n’est absolument inactif, tout vit. Et le savant grec Pythagore a justement dit que “les nombres sont l’essence des choses“. C’est-à-dire que les nombres sont en quelque sorte la face cachée des choses. Nos yeux voient les choses mais n’arrivent pas à voir les nombres qui font ces choses. En nous plaçant d’un degré supérieur, on arrive à expliquer les choses grâce aux nombres. Prenons un exemple pour fixer cette idée.

Considérons les nombres élémentaires (ou chiffres) que nous connaissons : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Ils sont appelés nombres entiers naturels, à l’exception de 0 qui est un nombre un peu particulier. Dans notre système, tous les autres nombres sont générés à partir de ceux-là. Ne vous souciez pas d’eux pour l’instant, nous les étudierons en détail dans le chapitre suivant. Nous avons juste besoin d’eux pour

Le nombre 1
L’unité 1

 

l’exemple. Considérons maintenant un fait purement social : la constitution des sociétés. Nous avons parlé dans le chapitre précédent du principe d’attraction, qui est un principe universel et immuable, qui s’applique aussi bien aux plus grands éléments, comme les planètes, qu’aux plus petits éléments, comme les atomes. Comment cela marche-t-il ? Nous avons un principe actif qui rencontre un principe passif et l’association des deux crée un principe neutre. Et le cycle reprend. Le principe passif, lui-même, provient d’une opposition du principe actif avec lui-même. Le raisonnement que nous allons employer ici est appelé analogie. C’est-à-dire qu’on explique un phénomène grâce à un autre phénomène qui lui est équivalent, on dit que ces phénomènes sont analogues. Mais, analogue ne signifie pas identique. Deux faits peuvent être analogues mais pas identiques. Continuons avec notre exemple.

Le nombre 1 (c’est-à-dire l’unité) peut être vu comme le principe actif. Le nombre 2, qui est une opposition de 1 avec lui-même (\(2 = 1 + 1\)), peut être vu comme le principe passif. L’association de ces deux principes donne 3 (\(1 + 2 = 3\)), le principe neutre (ou nul : 0). L’association du principe actif et du neutre redonne un nouveau principe actif, 4 (\(1 + 3 = 4 = 1 + 0 = 1\)), mais qui est d’un degré supérieur (les musiciens diraient “d’une octave supérieure“). Et ce même cycle continue, créant des degrés de plus en plus supérieurs. Faisons maintenant l’analogie avec notre fait social. Un homme (le principe actif) s’associe avec une femme (le principe passif) et font un enfant (le neutre). Nous avons maintenant une famille, qui est également un principe actif car la famille forme un (1) seul bloc. Mais la famille étant plus forte que l’homme pris seul, on dit qu’elle est d’un degré supérieur. Plusieurs familles mises ensemble créent des neutres. Et cette association devient une tribu, un nouveau principe plus fort. En continuant dans cette progression, nous obtenons un groupe ethnique, une nation, un continent, etc. De plus grandes octaves. La figure ci-dessous présente cette analogie.

Une simple analogie entre les nombres et le regroupement des hommes
Une simple analogie entre les nombres et le regroupement des hommes

 

Ce que nous venons de faire avec les nombres est bien connu des arithméticiens, c’est l’opération cyclique d’ordre 3 (ou modulo 3). Nous verrons cela plus loin. Mais, retenons de cet exemple que nous pouvons utiliser les nombres pour expliquer les phénomènes de l’Univers, il faut juste savoir comment le faire. C’est le but de notre voyage initiatique. Et nous allons débuter notre étude de l’Algorithmie par l’arithmétique. Étudions d’abord les faits sur les nombres et ensuite nous déduirons les lois sur les nombres. 😉
Je sais que vous avez hâte d’en découdre alors passons, sans plus tarder, au chapitre suivant !

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