Qu’est-ce que les mathématiques ?

Une théorie mathématique ne doit être regardée comme parfaite que si elle a été rendue tellement claire qu’on peut la faire comprendre au premier individu rencontré dans la rue — David Hilbert

Le but des mathématiques est de déterminer les grandeurs les unes par les autres, d’après les relations précises qui existent entre elles — Auguste Comte

Nous allons dans ce chapitre définir la science mathématique, son objet et ses différentes branches. Cela nous donnera une perspective claire des mathématiques. C’est ici le lieu de prouver les affirmations que j’ai faites dans l’introduction. Je vous montrerai ici combien les mathématiques font partie intégrante de votre vie quotidienne et comment vous vous en servez à chaque instant, parfois consciemment et quelques fois sans vous en rendre compte.
Avant d’y arriver, commençons d’abord par une discussion sur la construction générales des sciences.

Démarche scientifique

Des faits aux lois : Deux exemples tirés de la légende

La légende dit que le physicien anglais Isaac Newton, alors qu’il était assis dans son jardin, observa une pomme tombée d’un arbre. De cette observation (le fait), il déduit une loi appelée loi de la gravitation universelle. C’est à partir de cette loi qu’il a calculé le mouvement des planètes.

La légende dit également qu’à l’époque, le roi de Syracuse, Hiéron II, demanda au savant grec Archimède si sa couronne est faite d’or pur ou d’un simple alliage. Pour répondre à cette question, il était nécessaire de connaître la densité de la couronne, qui ne peut être obtenue qu’en connaissant sa masse et son volume. À cette époque, la balance était déjà disponible donc la masse de la couronne pouvait être obtenue, ce qui n’était pas le cas pour le volume vu la forme complexe de la couronne. Archimède devait donc trouver un moyen pour déterminer le volume. Il réfléchit à cette question en prenant son bain, allongé dans une piscine.

Archimède prenant son bain

Archimède prenant son bain

Il sentit soudain que le poids de ses membres diminuait à mesure qu’il s’enfonçait dans l’eau (le fait). Il comprit que cette perte apparente de poids correspondait à la quantité (ou volume) d’eau déplacée. L’eau étant liquide, il était facile de mesurer son volume en la mettant dans un récipient approprié. Archimède avait donc découvert comment mesurer le volume de la couronne. Il lui suffisait de plonger la couronne dans l’eau, de récupérer l’eau déplacée et de mesurer le volume de cette eau. Muni du poids de la couronne et de son volume, Archimède pouvait donc déterminer la densité de la couronne.

La légende raconte qu’Archimède, tout joyeux de sa découverte, sortit dans la rue en criant “Eurêka!” (j’ai trouvé !). Mais, la légende ne précise pas le verdict rendu au roi. Archimède déduisit une loi à partir de cette découverte : “tout corps plongé dans un fluide subit une poussée verticale, dirigée de bas en haut, égale au poids du fluide déplacé“.

Que la légende dise vrai au sujet de ces deux exemples nous importe peu. Ce qui nous intéresse, c’est la méthode employée dans chacun des cas. Cette méthode est universelle. Le savant part de faits pour déduire des lois. Toutes les sciences sont construites de cette manière.

Le savant part de faits pour déduire des lois.

On comprend de cette discussion que la loi est d’un degré supérieur au fait. À partir d’une loi, on déduit automatiquement de nombreux faits ou phénomènes. On dit que la loi est une généralisation des faits et que les faits sont une spécialisation de la loi. Il y a un degré supérieur à la loi vers lequel les scientifiques ne s’aventurent généralement pas, c’est le principe. Le monde est régi par des principes immuables (qui changent pas). La loi de la gravitation découle du principe d’attraction qu’on observe dans une multitude de phénomènes. Par exemple, les planètes s’attirent en elles, on parle de gravitation ; les électrons s’attirent pour former l’atome, on parle d’attraction électronique ; ou encore les ions s’attirent et s’associent pour former d’autres particules, on parle d’affinité chimique. On parle même d’affinité quand des êtres humains ont une attirance les uns pour les autres.

Les principes au-dessus des lois et des faits

Il y a très peu de principes, un peu plus de lois et un grand nombre de faits. Cette dégradation peut être schématisée comme sur la figure ci-dessous :

Méthode scientifique

Méthode scientifique

Il y a très peu de principes, un peu plus de lois et un grand nombre de faits.

Sur cette figure, on voit un triangle (forme géométrique à trois côtés). Au sommet de ce triangle nous avons les principes, à la base, les faits et vers le centre, les lois. En partant du haut, on voit que la partie occupée par les principes (un point), symbolisant le fait qu’il y a très peu de principes. Ensuite, nous arrivons aux lois qui occupent une plus grande place (un petit segment). Enfin, nous finissons notre chemin vers les faits, qui occupent davantage de place (un grand segment). Cette descente (ou dégradation) est ce que j’ai appelé, plus tôt, spécialisation. On peut encore la voir comme une matérialisation ou une analyse. Si au contraire, nous allons dans le sens contraire, nous faisons une généralisation, ou une abstraction, ou encore une synthèse.

Alors, qu’est-ce que les maths ?

Le concept de quantité

Marquez une pause et regardez autour de vous. Que voyez-vous ? Des objets, n’est-ce pas ? Ces objets sont visibles, palpables. Qu’est-ce qui vous permet d’identifier une orange de loin ? Sa forme et peut-être sa couleur. Ce sont ces mêmes caractéristiques que vous utilisez pour faire la différence entre une orange et une banane. Que fait un enfant curieux lorsqu’on lui donne un jouet ? Il veut le mettre en pièces, le décomposer pour voir ses composants. Il le fait jusqu’à ce qu’il ne puisse plus décomposer. À ce stade, il s’aperçoit qu’il n’a plus un jouet mais plusieurs éléments. Il a de façon inhérente la perception de la notion de quantité même s’il se fiche de la nommer. Que faites-vous lorsque vous rentrez dans une salle de cérémonie ? Vous estimez assez rapidement le nombre de personnes et si ce nombre est trop grand, vous vous exclamez : “Oh ! Il y a du monde !“.

Laissez-moi vous dire, vous êtes des mathématiciens, vous faites les mathématiques tous les jours et à chaque instant. Ce ne sont peut-être pas les maths du niveau du Professeur Saliou Touré, mais vous faites des maths. À cause du concept de quantité qui est comme naturel chez tout homme.

On n’a pas besoin d’avoir fait les bancs pour penser à compter. On le fait naturellement parce que le monde physique est ainsi constitué.

De cette discussion, on peut définir les mathématiques comme étant la science des quantités. Une quantité peut être perçue comme tout ce qui est capable d’augmenter ou de diminuer. Tout objet matériel est une association (ou un agrégat) de parties élémentaires. Le monde visible étant constitué d’objets, on peut dire que tout est objet et alors, que tout peut être quantifié. Ainsi, les maths étant la science des quantités, elles permettent d’expliquer tous les phénomènes de l’Univers, de déduire les lois qui régissent ces phénomènes et de déterminer les principes sous-jacents. De tout temps, l’activité du mathématicien professionnel a été de trouver des méthodes pour déterminer les quantités.

La mathématique est la science des quantités.

Les concepts d’espace et de temps

L’espace et le temps, bien qu’étant des concepts quelque peu abstraits, semblent être des objets concrets pour nous. Nous repérons la position de notre maison par rapport celle du voisin en considérant le concept d’espace. Nous disons parfois : “Il n’y a plus de place à la maison pour recevoir des invités“. Là encore nous parlons d’espace sans songer à son sens réel. Tous les jours de notre vie, nous réglons nos affaires en considérant le temps. L’adage ne dit-il pas que “le temps, c’est de l’argent” ? Eh bien, le temps et l’espace sont des quantités et Hoëné Wronski définit les maths comme étant la science des lois du temps et de l’espace.

Voyons maintenant de quoi est constituée la science mathématique.

La science mathématique : agrégat de trois sciences

Lorsqu’on considère un objet du point de vue de l’espace qu’il occupe, en le considérant comme un objet unique, on parle d’étendue de l’objet. L’étendue est une quantité géométrique. En revanche, si on considère l’objet comme étant composé de plusieurs parties et qu’on s’intéresse au plus ou moins de ces parties, on parle de nombre de cet objet. Le nombre d’un objet est une quantité numérique. Enfin, si on considère un objet dans ses différentes positions dans l’espace et dans le temps, on parle de mouvement de cet objet. On peut donc scinder les maths en trois sciences, la science :

  • des nombres ou Algorithmie (du mot algorithme qui signifie calcul) ;
  • de l’étendue ou Géométrie, et
  • du mouvement ou Phronomie.

Nous nous consacrerons à l’étude de ces sciences.
Lorsqu’on considère les maths d’un point de vue purement abstrait, c’est-à-dire en ignorant tout objet physique ou tout caractère pratique, on parle de mathématiques pures. Par contre, si on considère la science mathématique dans son application concrète, on parle de mathématiques appliquées.

Parmi tous les mathématiciens que notre monde a connu, Wronski fut le premier à déterminer le principe absolu de génération systématique des quantités. Par ce principe, on déduit toutes les lois et les faits. Plusieurs autres mathématiciens, comme Euler et Lagrange, voyant que les maths manquaient d’une réelle synthèse, ont tenté de trouver un concept qui unifierait les maths, mais ils n’ont fait que créer de nouvelles théories inconciliables. Mais, ne nous étalons pas sur les considérations historiques. Signalons que nous adoptons le point de vue de Wronski dans notre construction des mathématiques.

la science des lois du temps et de l’espace — Wronski

Nous voici à la fin de notre présentation générale des mathématiques. Ce chapitre a dû être un peu lourd pour certains mais il est fondamental. Relisez-le si nécessaire pour bien fixer les idées.
Alors, et si on faisait une pause pour discuter du prochain chapitre portant sur l’Algorithmie ?  🙂

PDF du cours

Qu'est-ce que les mathématiques.pdf
Qu’est-ce que les mathématiques ?
  •  
    16
    Shares
  • 16
  •  
  •  
  •  
  •  

7
Poster un Commentaire

avatar
2 Fils de commentaires
5 Réponses de fil
0 Abonnés
 
Commentaire avec le plus de réactions
Le plus populaire des commentaires
2 Auteurs du commentaire
Evariste DossouArnold NGORAN Auteurs de commentaires récents
  S’abonner  
le plus récent le plus ancien le plus populaire
Notifier de
Evariste Dossou
Invité
Dossou

Bonjour a vous ,j’aimerais savoir si ce logiciel peut être installé sur androïd ,merci

Evariste Dossou
Invité
Dossou

Bonjour a vous j’aimerais savoir si ce logiciel peut être installé sur Android